Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
ˇ
Reˇsen´ı:
Z
6 x
2 arcsin x3 dx =
x3
= t
3x2 dx = dt
6x2 dx = 2 dt
=
Z
2 arcsin t dt =
=
u0 =
2
u = 2t
v = arcsin t v0 =
1
√
1−t2
= 2t arcsin t −
Z
2t
√
1 − t2
dt =
=
1 − t2 = s
−2t dt = ds
2t dt
= − dt
= 2t arcsin t +
Z
1
√
s
ds = 2t arcsin t +
s
1
2
1
2
=
= 2t arcsin t + 2
√
1 − t2 + C = 2
x
3 arcsin x3 +
√
1 − x6
+ C.
Pˇ
r´ıklad 2.1.6. Vypoˇ
c´ıtejte n´
asleduj´ıc´ı integr´
aly:
a)
Z
1
x ln x
dx
b)
Z
x ln x dx
c)
Z
√
ln x
x
dx
d)
Z
(sin
5 x) cos x dx
e)
Z
tg
2x dx
f)
Z
sin x
36 + 4 cos2 x
dx
g)
Z
e
x −
1
ex
2
dx
h)
Z
e
√
x
√
x
dx
j)
Z
(x + 3)
2 ex dx
k)
Z
(1 +
√
x)
2
3
√
x
dx
l)
Z
x
√
2x − 1
dx
m)
Z
1
√
1 − 4x2
dx
ˇ
Reˇsen´ı:
a) ln(ln x) + C;
b)
x2
2
(ln x −
1
2
) + C;
c)
2
3
p
ln
3 x + C;
d)
sin
6 x
6
+ C;
e) tg x − x + C;
f) −
1
12
arctg
cos x
3
+ C;
g)
e2x − e−2x
2
− 2x + C;
h) 2e
√
x + C;
j) (x
2 + 4x + 5) ex + C;
k)
3
5
3
√
x5 +
12
7
6
√
x7 +
3
2
3
√
x2 +C;
l)
x + 1
3
√
2x − 1+C;
m)
1
2
arcsin 2x+C.
30
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
2.2
Integrov´
an´ı racion´
aln´ı lomen´
e funkce
Racion´
aln´ı lomen´
a funkce — funkce tvaru f (x) =
anx
n + a
n−1x
n−1 + . . . + a
0
bmxm + bm−1xm−1 + . . . + b0
,
kde n, m ∈ N.
Ryze racion´
aln´ı lomen´
a funkce — racion´
aln´ı lomen´
a funkce, kde n < m.
Parci´
aln´ı zlomky — zlomky typu
A
x − a
,
A
(x − a)n
, A, a ∈ R; n ∈ N
nebo
M x + N
x2 + px + q
,
M x + N
(x2 + px + q)n
, kde x2 + px + q je nerozloˇ
ziteln´
y kvadratick´
y
polynom, ˇ
c´ısla M, N, p, q ∈ R a n je pˇrirozen´e ˇc´ıslo.
Rozklad na parci´
aln´ı zlomky — rozklad ryze racion´
aln´ı lomen´
e funkce na souˇ