Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x + 3
(x + 2)(x + 1)
=
A
x + 2
+
B
x + 1
.
· (x + 2)(x + 1)
x + 3 = A(x + 1) + B(x + 2)
x + 3 = Ax + A + Bx + 2B
Dostali jsme rovnici typu polynom se rovn´
a polynomu. Porovn´
ame koeficienty
u stejn´
ych mocnin na obou stran´
ach rovnice.
x1 : 1 =
A + B
x0 : 3 = A + 2B
⇒ A = 1−B ⇒ 3 = 1−B+2B ⇒ A = −1, B = 2
f (x) =
x + 3
x2 + 3x + 2
= −
1
x + 2
+
2
x + 1
.
b)
8
x2 + 2x − 3
=
2
x − 1
−
2
x + 3
;
c)
2x
x2 − 4
=
1
x − 2
+
1
x + 2
.
d) Jmenovatel x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1) = x(x + 1)2 = x(x + 1)(x + 1).
M´
ame tˇri ˇ
cinitele, pˇritom dvakr´
at stejn´
y dvojˇ
clen x + 1. Mus´ıme v rozkladu
m´ıt 3 r˚
uzn´
e parci´
aln´ı zlomky, tzn. pro dva stejn´
e ˇ
cinitele dva r˚
uzn´
e zlomky.
f (x) =
x2 − 3x − 1
x3 + 2x2 + x
=
x2 − 3x − 1
x(x + 1)2
=
A
x
+
B
x + 1
+
C
(x + 1)2
D´
ale spoˇ
c´ıt´
ame koeficienty stejnˇ
e jako v ˇ
c´
asti a). Dostaneme
f (x) =
x2 − 3x − 1
x3 + 2x2 + x
= −
1
x
+
2
x + 1
−
3
(x + 1)2
.
e)
4x3 − 4x2 + x + 1
x2(x − 1)2
=
3
x
+
1
x2
+
1
x − 1
+
2
(x − 1)2
;
f)
x2 − 3
x4 + x3
=
2
x + 1
−
2
x
+
3
x2
−
3
x3
.
32
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
g) Jmenovatel (x − 2)(x2 + 1) se uˇ
z ned´
a d´
al rozloˇ
zit v re´
aln´
em oboru. M´
ame
dva ˇ
cinitele, a tak dva parci´
aln´ı zlomky. V´
yraz x2 + 1 je nerozloˇ
ziteln´
y kvad-
ratick´
y polynom. Proto
f (x) =
x + 1
(x − 2)(x2 + 1)
=
A
x − 2
+
Bx + C
x2 + 1
D´
ale spoˇ
c´ıt´
ame koeficienty stejnˇ
e jako v ˇ
c´
asti a). Dostaneme
f (x) =
x + 1
(x − 2)(x2 + 1)
=
3
5
x − 2