Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (501.86 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

d)

Z

1

−1

e

x dx

ˇ

Reˇsen´ı:

a) −

21

2

;

b) −

1

2

ln 3;

c)

65

6

;

d) e −

1

e

.

r´ıklad 2.3.4. Metodou per partes vypoˇ

ctˇ

ete integr´

aly:

a)

Z

1

0

(3x − 2) e

x dx

b)

Z

π

2

0

x sin x dx

c)

Z

e

1

x ln x dx

d)

Z

1

0

arctg x dx

ˇ

Reˇsen´ı:

a)

Z

1

0

(3x − 2) e

x dx =

h

(3x − 2) e

x

i1

0

Z

1

0

3 e

x dx =

= (e − (−2)) −

h

3 ex

i1

0

= e + 2 − (3e − 3) = 5 − 2e.

b)

Z

π

2

0

x sin x dx =

h

− x cos x

i

π

2

0

Z

π

2

0

(− cos x) dx =

π

2

cos

π

2

+ 0

+

+

h

sin x

i

π

2

0

= 0 + sin

π

2

− sin 0 = 1.

c)

Z

e

1

x ln x dx =

h

x2

2

ln x

ie

1

Z

e

1

x

2

dx =

 e2

2

ln e − 0

h

x2

4

ie

1

=

1 − e2

4

.

d)

Z

1

0

arctg x dx =

h

x arctg x

i1

0

Z

1

0

x

1 + x2

dx = arctg 1 −

h

1

2

ln |1 + x

2|

i1

0

=

=

π

4

 1

2

ln 2 − 0

=

π

4

− ln

2.

MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´

uloh

37

r´ıklad 2.3.5. Pouˇ

zijte substituˇ

cn´ı metodu na v´

ypoˇ

cet n´

asleduj´ıc´ıch integr´

al˚

u:

a)

Z

π

2

0

1 + sin x cos x dx

b)

Z

π

0

sin x cos x dx

c)

Z

1

0

x

(2x2 + 1)3

dx

ˇ

Reˇsen´ı:

a)

Z

π

2

0

1 + sin x cos x dx =

1 + sin x = t

cos x dx = dt

x = 0 ⇒ t = 1

x =

π

2 ⇒ t = 2

=

Z

2

1

t dt =

=

h

2

3

t

3
2

i2

1

=

2

3

2

2 − 1

.

b)

Z

π

0

sin x cos x dx =

sin x = t

cos x dx = dt

dx = −

1
3 dt

x = 0 ⇒ t = 0

x = π ⇒ t = 0

=

h

t

i0

0

= 0.

c)

Z

1

0

x

(2x2 + 1)3

dx =

1

4

Z

1

0

4x

(2x2 + 1)3

dx =

2x2 + 1 = t

4x dx = dt

x = 0 ⇒ t = 1
x = 1 ⇒ t = 3

=

1

4

Z

3

1

t

−3 dt =

= −

1

8

h

t

−2

i3

1

= −

1

8

 1

9

− 1

=

1

9

.

r´ıklad 2.3.6. Vypoˇ

c´ıtejte

Z

π

0

sin

2 x dx.

ˇ

Reˇsen´ı:

Pouˇ

zijeme vzorec sin

2 α =

1 − cos 2α

2

. Dosad´ıme do integr´

alu.

Z

π

0

sin

2 x dx =

Z

π

0

1 − cos 2x

2

dx =

1

2

h

x

0

1

2

h

sin 2x

2

0

=

π

2

.

r´ıklad 2.3.7. Vypoˇ

Témata, do kterých materiál patří