Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
d)
Z
1
−1
e
x dx
ˇ
Reˇsen´ı:
a) −
21
2
;
b) −
1
2
ln 3;
c)
65
6
;
d) e −
1
e
.
Pˇ
r´ıklad 2.3.4. Metodou per partes vypoˇ
ctˇ
ete integr´
aly:
a)
Z
1
0
(3x − 2) e
x dx
b)
Z
π
2
0
x sin x dx
c)
Z
e
1
x ln x dx
d)
Z
1
0
arctg x dx
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
Z
1
0
(3x − 2) e
x dx =
h
(3x − 2) e
x
i1
0
−
Z
1
0
3 e
x dx =
= (e − (−2)) −
h
3 ex
i1
0
= e + 2 − (3e − 3) = 5 − 2e.
b)
Z
π
2
0
x sin x dx =
h
− x cos x
i
π
2
0
−
Z
π
2
0
(− cos x) dx =
−
π
2
cos
π
2
+ 0
+
+
h
sin x
i
π
2
0
= 0 + sin
π
2
− sin 0 = 1.
c)
Z
e
1
x ln x dx =
h
x2
2
ln x
ie
1
−
Z
e
1
x
2
dx =
e2
2
ln e − 0
−
h
x2
4
ie
1
=
1 − e2
4
.
d)
Z
1
0
arctg x dx =
h
x arctg x
i1
0
−
Z
1
0
x
1 + x2
dx = arctg 1 −
h
1
2
ln |1 + x
2|
i1
0
=
=
π
4
−
1
2
ln 2 − 0
=
π
4
− ln
√
2.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
37
Pˇ
r´ıklad 2.3.5. Pouˇ
zijte substituˇ
cn´ı metodu na v´
ypoˇ
cet n´
asleduj´ıc´ıch integr´
al˚
u:
a)
Z
π
2
0
√
1 + sin x cos x dx
b)
Z
π
0
sin x cos x dx
c)
Z
1
0
x
(2x2 + 1)3
dx
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
Z
π
2
0
√
1 + sin x cos x dx =
1 + sin x = t
cos x dx = dt
x = 0 ⇒ t = 1
x =
π
2 ⇒ t = 2
=
Z
2
1
√
t dt =
=
h
2
3
t
3
2
i2
1
=
2
3
2
√
2 − 1
.
b)
Z
π
0
sin x cos x dx =
sin x = t
cos x dx = dt
dx = −
1
3 dt
x = 0 ⇒ t = 0
x = π ⇒ t = 0
=
h
t
i0
0
= 0.
c)
Z
1
0
x
(2x2 + 1)3
dx =
1
4
Z
1
0
4x
(2x2 + 1)3
dx =
2x2 + 1 = t
4x dx = dt
x = 0 ⇒ t = 1
x = 1 ⇒ t = 3
=
1
4
Z
3
1
t
−3 dt =
= −
1
8
h
t
−2
i3
1
= −
1
8
1
9
− 1
=
1
9
.
Pˇ
r´ıklad 2.3.6. Vypoˇ
c´ıtejte
Z
π
0
sin
2 x dx.
ˇ
Reˇsen´ı:
Pouˇ
zijeme vzorec sin
2 α =
1 − cos 2α
2
. Dosad´ıme do integr´
alu.
Z
π
0
sin
2 x dx =
Z
π
0
1 − cos 2x
2
dx =
1
2
h
x
iπ
0
−
1
2
h
sin 2x
2
iπ
0
=
π
2
.
Pˇ
r´ıklad 2.3.7. Vypoˇ