Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
.
Pˇ
r´ıklad 3.1.1. Seˇ
ctˇ
ete geometrickou ˇ
radu 1 −
√
2
2
+
1
2
−
√
2
4
+ . . .
ˇ
Reˇsen´ı:
a) a1 = 1, q =
a2
a1
= −
√
2
2
, |q| =
√
2
2
< 1, ˇrada konverguje a
S =
a1
1 − q
=
1
1 +
√
2
2
= 2 −
√
2.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
43
Pˇ
r´ıklad 3.1.2. Seˇ
ctˇ
ete geometrickou ˇ
radu
∞
X
n=0
(cos x)
2n = 1 + cos2 x + cos4 x + . . .
ˇ
Reˇsen´ı:
a1 = 1, q = cos
2 x. Pro | cos2 x| < 1, tedy x 6= kπ je ˇrada
konvergentn´ı a
S =
1
1 − cos2 x
=
1
sin
2 x
.
Pˇ
r´ıklad 3.1.3. Seˇ
ctˇ
ete geometrick´
e ˇ
rady:
a)
∞
X
n=1
1
2
n−1
b)
∞
X
n=1
2
3n−1
c)
∞
X
n=1
−1
3
n−1
d)
∞
X
n=2
(x − 3)
n
e)
∞
X
n=1
(−1)n−1
xn
ˇ
Reˇsen´ı:
a) S = 2;
b) S = 3;
c) S =
3
4
;
d) S =
(x − 3)2
2 − x
, x ∈ (2, 4);
e) S =
1
x + 1
, x ∈ (−∞, −1) ∪ (1, ∞).
Pˇ
r´ıklad 3.1.4.
ˇ
Reˇ
ste rovnici
8
x + 10
= 1 −
3
x
+
9
x2
−
27
x3
+ . . . .
ˇ
Reˇsen´ı:
Prav´
a strana rovnice je geometrick´
a ˇrada, a1 = 1, q = −
3
x
.
Pro
x ∈ (−∞, −3) ∪ (3, ∞) je ˇrada konvergentn´ı se souˇ
ctem S =
x
x + 3
.
M´
ame ˇreˇsit rovnici
8
x + 10
=
x
x + 3
na mnoˇ
zinˇ
e (−∞, −3) ∪ (3, ∞).
Dostaneme kvadratickou rovnici x
2 + 2x − 24 = 0. ˇ
Reˇsen´ım je x ∈ {−6, 4}.
Pˇ
r´ıklad 3.1.5. Pro x ∈ h0; 2πi ˇ
reˇ
ste rovnici 1 + sin
2 x + sin4 x + . . . = 2 tg x.
ˇ
Reˇsen´ı:
x 6=
π
2
∧ x 6=
3π
2
⇒
1
1 − sin
2 x
= 2
sin x
cos x
⇒
sin 2x = 1
⇒
x ∈
π
4
,
5π
4
.
Pˇ
r´ıklad 3.1.6. Vyˇ
reˇ
ste v R n´asleduj´ıc´ı rovnice:
a)
∞
X
n=2
(x + 1)
n = −x
b)
∞
X
n=2
(−1)
n(x + 2)n =
1
2
c)
∞
X
n=0
x + 5
2
n
= x
d)
∞
X
n=2
(x − 2)
n =
4
3
ˇ
Reˇsen´ı:
a) x = −
1
2
;
b) x = −
5
2
;
c) nem´
a ˇreˇsen´ı;
d)
8
3
.
44
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ