Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (501.86 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

dx = lim

t→∞

h

1

3

arctg

x

3

it

0

= lim

t→∞

1

3

arctg

t

3

=

π

6

.

d)

Z

2

1

x ln

2 x

dx = lim

t→∞

Z

t

2

1

x ln

2 x

dx =

ln x = u

1

x dx =

du

x = 2 ⇒ u = ln 2

x = t ⇒ u = ln t

=

MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´

uloh

39

= lim

t→∞

Z

ln t

ln 2

1

u2

du = lim

t→∞

h

1

u

iln t

ln 2

= lim

t→∞

1

ln t

+

1

ln 2

=

1

ln 2

.

e)

Z

0

xe

−x dx = lim

t→∞

Z

t

0

xe

−x dx =

u0 = e−x

u = −e−x

v = x

v0 = 1

=

= lim

t→∞

h

− e

−x(x + 1)

it

0

= lim

t→∞

− e

−t(t + 1) + 1

= 1 − lim

t→∞

t + 1

et

= 1.

r´ıklad 2.4.2. Vypoˇ

c´ıtejte nevlastn´ı integr´

aly:

a)

Z

−4

−∞

1

x3

dx

b)

Z

4

−∞

1

x2 + 16

dx

c)

Z

0

−∞

e

6x dx

ˇ

Reˇsen´ı:

a)

Z

−4

−∞

1

x3

dx = lim

t→−∞

Z

−4

t

1

x3

dx = lim

t→−∞

h

x−2

−2

i−4

t

=

= −

1

2

lim

t→−∞

h

1

x2

i−4

t

= −

1

2

lim

t→−∞

1

16

1

t2

= −

1

32

.

b)

Z

4

−∞

1

x2 + 16

dx = lim

t→−∞

Z

4

t

1

x2 + 16

dx = lim

t→−∞

h

1

4

arctg

x

4

i4

t

=

=

1

4

lim

t→−∞

arctg 1 − arctg

t

4

=

1

4

π

4

+

π

2

=

3

16

π.

c)

Z

0

−∞

e

6x dx = lim

t→−∞

Z

0

t

e

6x dx = lim

t→−∞

h

1

6

e

6x

i0

t

=

1

6

lim

t→−∞

1 − e

6t

=

1

6

.

r´ıklad 2.4.3. Vypoˇ

c´ıtejte nevlastn´ı integr´

al

Z

−∞

1

x2 + 1

dx .

ˇ

Reˇsen´ı:

Vybereme si libovoln´

y bod, napˇr´ıklad nulu, a interval (−∞, ∞)

bodem 0 rozdˇ

el´ıme na dva intervaly a tak i integr´

al na dva nevlastn´ı integr´

aly:

Z

−∞

1

x2 + 1

dx =

Z

0

−∞

1

x2 + 1

dx +

Z

0

1

x2 + 1

dx =

lim

t→−∞

Z

0

t

1

x2 + 1

dx + lim

t→∞

Z

t

0

1

x2 + 1

dx =

= lim

t→−∞

h

arctg x

i0

t

+ lim

t→∞

h

arctg x

it

0

=

= lim

t→−∞

0 − arctg t

+ lim

t→∞

arctg t − 0

= −

π

2

+

π

2

= π.

40

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

r´ıklad 2.4.4. Vypoˇ

c´ıtejte n´

asleduj´ıc´ı integr´

aly z neomezen´

e funkce:

a)

Z

1

0

1

x

dx

b)

Z

0

−1

2

3

x

dx

c)

Z

1

0

x ln x dx

d)

Z

π

2

0

sin x

1 − cos x

dx

e)

Z

3

1

1

x − 2

Témata, do kterých materiál patří