Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
dx = lim
t→∞
h
1
3
arctg
x
3
it
0
= lim
t→∞
1
3
arctg
t
3
=
π
6
.
d)
Z
∞
2
1
x ln
2 x
dx = lim
t→∞
Z
t
2
1
x ln
2 x
dx =
ln x = u
1
x dx =
du
x = 2 ⇒ u = ln 2
x = t ⇒ u = ln t
=
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
39
= lim
t→∞
Z
ln t
ln 2
1
u2
du = lim
t→∞
h
−
1
u
iln t
ln 2
= lim
t→∞
−
1
ln t
+
1
ln 2
=
1
ln 2
.
e)
Z
∞
0
xe
−x dx = lim
t→∞
Z
t
0
xe
−x dx =
u0 = e−x
u = −e−x
v = x
v0 = 1
=
= lim
t→∞
h
− e
−x(x + 1)
it
0
= lim
t→∞
− e
−t(t + 1) + 1
= 1 − lim
t→∞
t + 1
et
= 1.
Pˇ
r´ıklad 2.4.2. Vypoˇ
c´ıtejte nevlastn´ı integr´
aly:
a)
Z
−4
−∞
1
x3
dx
b)
Z
4
−∞
1
x2 + 16
dx
c)
Z
0
−∞
e
6x dx
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
Z
−4
−∞
1
x3
dx = lim
t→−∞
Z
−4
t
1
x3
dx = lim
t→−∞
h
x−2
−2
i−4
t
=
= −
1
2
lim
t→−∞
h
1
x2
i−4
t
= −
1
2
lim
t→−∞
1
16
−
1
t2
= −
1
32
.
b)
Z
4
−∞
1
x2 + 16
dx = lim
t→−∞
Z
4
t
1
x2 + 16
dx = lim
t→−∞
h
1
4
arctg
x
4
i4
t
=
=
1
4
lim
t→−∞
arctg 1 − arctg
t
4
=
1
4
π
4
+
π
2
=
3
16
π.
c)
Z
0
−∞
e
6x dx = lim
t→−∞
Z
0
t
e
6x dx = lim
t→−∞
h
1
6
e
6x
i0
t
=
1
6
lim
t→−∞
1 − e
6t
=
1
6
.
Pˇ
r´ıklad 2.4.3. Vypoˇ
c´ıtejte nevlastn´ı integr´
al
Z
∞
−∞
1
x2 + 1
dx .
ˇ
Reˇsen´ı:
Vybereme si libovoln´
y bod, napˇr´ıklad nulu, a interval (−∞, ∞)
bodem 0 rozdˇ
el´ıme na dva intervaly a tak i integr´
al na dva nevlastn´ı integr´
aly:
Z
∞
−∞
1
x2 + 1
dx =
Z
0
−∞
1
x2 + 1
dx +
Z
∞
0
1
x2 + 1
dx =
lim
t→−∞
Z
0
t
1
x2 + 1
dx + lim
t→∞
Z
t
0
1
x2 + 1
dx =
= lim
t→−∞
h
arctg x
i0
t
+ lim
t→∞
h
arctg x
it
0
=
= lim
t→−∞
0 − arctg t
+ lim
t→∞
arctg t − 0
= −
−
π
2
+
π
2
= π.
40
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
Pˇ
r´ıklad 2.4.4. Vypoˇ
c´ıtejte n´
asleduj´ıc´ı integr´
aly z neomezen´
e funkce:
a)
Z
1
0
1
x
dx
b)
Z
0
−1
2
3
√
x
dx
c)
Z
1
0
x ln x dx
d)
Z
π
2
0
sin x
√
1 − cos x
dx
e)
Z
3
1
1
x − 2