Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
+
− 3
5 x −
1
5
x2 + 1
.
h)
2x2 − 4
x3 + 4x2 + 2x
= −
2
x
+
4x + 8
x2 + 4x + 2
;
j)
4x − 3
x2(x2 + 4)
=
1
x
−
3
4
x2
+
−x + 3
4
x2 + 4
.
Pˇ
r´ıklad 2.2.3. Integrujte parci´
aln´ı zlomky:
a)
Z
3
x + 2
dx
b)
Z
8
2x − 3
dx
c)
Z
2
1 − x
dx
d)
Z
1
3
x +
√
2
dx
e)
Z
4
(x − 1)2
dx
f)
Z
3
(x + 4)4
dx
ˇ
Reˇsen´ı: a)
Z
3
x + 2
dx = 3
Z
1
x + 2
dx = 3
Z
(x + 2)0
x + 2
dx = 3 ln |x + 2| + C.
b)
Z
8
2x − 3
dx = 4
Z
2
2x − 3
dx = 4
Z
(2x − 3)0
2x − 3
dx = 4 ln |2x − 3| + C.
c)
Z
2
1 − x
dx = −2
Z
−1
1 − x
dx = −2 ln |1 − x| + C.
d)
Z
1
3
x +
√
2
dx =
1
3
Z
1
x +
√
2
dx =
1
3
ln |x +
√
2| + C.
e)
Z
4
(x − 1)2
dx =
t
= x − 1
dt = dx
= 4
Z
t
−2 dt = −
4
t
= −
4
x − 1
+ C.
f)
Z
3
(x + 4)4
dx =
t
= x + 4
dt = dx
= 3
Z
t
−4 dt = −
3
3t3
= −
1
(x + 4)3
+ C.
Pˇ
r´ıklad 2.2.4. Integrujte parci´
aln´ı zlomky:
a)
Z
6x + 3
x2 + x + 7
dx
b)
Z
6
x2 − 4x + 8
dx
c)
Z
x
x2 + 4x + 5
dx
d)
Z
4x − 3
x2 + 6x + 10
dx
e)
Z
4 − x
x2 + 2x + 5
dx
f)
Z
3
x2 − 3x + 3
dx
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
33
ˇ
Reˇsen´ı:
Vˇsechny parci´
aln´ı zlomky v tomto pˇr´ıkladˇ
e jsou typu
M x + N
x2 + px + q
,
kde x2 + px + q je nerozloˇ
ziteln´
y kvadratick´
y polynom.
Pokud je M 6= 0 (ˇ
citatel zlomku obsahuje x), nejdˇr´ıve uprav´ıme zlomek tak,
aby v ˇ
citateli byla derivace jmenovatele a pouˇ
z´ıjeme na v´
ypoˇ
cet tohoto in-
tegr´
alu vzorec
Z
f 0(x)
f (x)
= ln |f (x)| + C. Zbyl´
y integr´
al je typu
N
x2 + px + q
.
Ve jmenovateli tohoto integr´
alu kvadratick´
y ˇ
clen dopln´ıme na ´
upln´
y ˇ
ctverec a
substituc´ı pˇrevedem integr´
al na vzorec
Z
1
x2 + a2
dx =
1
a
arctg
x
a
+ C, nebo
rovnou pouˇ
zijeme vzorec