Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Z
b
a
(M f (x) + N g(x)) dx = M
Z
b
a
f (x) dx + N
Z
b
a
g(x) dx.
Aditivnost urˇ
cit´
eho integr´
alu — funkce f spojit´
a na ha, bi a c ∈ (a, b), pak
Z
b
a
f (x) dx =
Z
c
a
f (x) dx +
Z
b
c
f (x) dx.
Pˇ
r´ıklad 2.3.1. Uˇ
zit´ım Newton – Leibnitzova vzorce vypoˇ
ctˇ
ete:
a)
Z
1
0
(2x − x
2) dx
b)
Z
π
0
sin x dx
c)
Z
2π
0
sin x dx
d)
Z
π
π
2
cos x dx
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Nejdˇr´ıv spoˇ
c´ıt´
ame primitivn´ı funkci k funkci f (x) = (2x − x2).
F (x) =
R (2x − x2) dx = x2 − x
3
3 + C.
Podle Newton – Leibnitzova vzorce
Z
1
0
(2x − x
2) dx =
h
x
2 −
x3
3
+ C
i1
0
=
1 −
1
3
+ C
− C =
2
3
+ C − C =
2
3
.
Vid´ıme, ˇ
ze integraˇ
cn´ı konstantu C pˇri v´
ypoˇ
ctu urˇ
cit´
eho integr´
alu v bodˇ
e b
pˇriˇ
cteme a v bodˇ
e a zase odeˇ
cteme, proto ji nemus´ıme ps´
at.
b)
Z
π
0
sin x dx =
h
− cos x
iπ
0
= (− cos π) − (− cos 0) = −(−1) + 1 = 2.
c)
Z
2π
0
sin x dx =
h
− cos x
i2π
0
= (− cos 2π) − (− cos 0) = −1 + 1 = 0.
d)
Z
π
π
2
cos x dx =
h
sin x
iπ
π
2
= sin π − sin
π
2
= 0 − 1 = −1.
36
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
Pˇ
r´ıklad 2.3.2. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
Z
3
−1
|x − 1| dx.
ˇ
Reˇsen´ı: Pro funkci, kterou chceme integrovat plat´ı: f (x) =
x − 1, pro x ∈< 1, ∞),
1 − x, pro x ∈ (−∞, 1).
Vyuˇ
zijeme aditivnost urˇ
cit´
eho integr´
alu:
Z
3
−1
|x − 1| dx =
Z
1
−1
|x − 1| dx +
Z
3
1
|x − 1| dx =
=
Z
1
−1
(1 − x) dx +
Z
3
1
(x − 1) dx =
h
x −
1
2
x
2
i1
−1
+
h
1
2
x
2 − x
i3
1
= 4.
Pˇ
r´ıklad 2.3.3. Uˇ
zit´ım Newton – Leibnitzova vzorce vypoˇ
ctˇ
ete urˇ
cit´
e integr´
aly:
a)
Z
4
1
(3x − 11) dx
b)
Z
1
0
1
2x − 3
dx
c)
Z
3
0
|1 − 3x| dx