Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (501.86 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

Z

b

a

(M f (x) + N g(x)) dx = M

Z

b

a

f (x) dx + N

Z

b

a

g(x) dx.

Aditivnost urˇ

cit´

eho integr´

alu — funkce f spojit´

a na ha, bi a c ∈ (a, b), pak

Z

b

a

f (x) dx =

Z

c

a

f (x) dx +

Z

b

c

f (x) dx.

r´ıklad 2.3.1. Uˇ

zit´ım Newton – Leibnitzova vzorce vypoˇ

ctˇ

ete:

a)

Z

1

0

(2x − x

2) dx

b)

Z

π

0

sin x dx

c)

Z

0

sin x dx

d)

Z

π

π

2

cos x dx

ˇ

Reˇsen´ı:

a) Nejdˇr´ıv spoˇ

c´ıt´

ame primitivn´ı funkci k funkci f (x) = (2x − x2).

F (x) =

R (2x − x2) dx = x2 − x

3

3 + C.

Podle Newton – Leibnitzova vzorce

Z

1

0

(2x − x

2) dx =

h

x

2 −

x3

3

+ C

i1

0

=

1 −

1

3

+ C

− C =

2

3

+ C − C =

2

3

.

Vid´ıme, ˇ

ze integraˇ

cn´ı konstantu C pˇri v´

ypoˇ

ctu urˇ

cit´

eho integr´

alu v bodˇ

e b

pˇriˇ

cteme a v bodˇ

e a zase odeˇ

cteme, proto ji nemus´ıme ps´

at.

b)

Z

π

0

sin x dx =

h

− cos x

0

= (− cos π) − (− cos 0) = −(−1) + 1 = 2.

c)

Z

0

sin x dx =

h

− cos x

i2π

0

= (− cos 2π) − (− cos 0) = −1 + 1 = 0.

d)

Z

π

π

2

cos x dx =

h

sin x

π

2

= sin π − sin

π

2

= 0 − 1 = −1.

36

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

r´ıklad 2.3.2. Vypoˇ

ctˇ

ete integr´

al

Z

3

−1

|x − 1| dx.

ˇ

Reˇsen´ı: Pro funkci, kterou chceme integrovat plat´ı: f (x) =

 x − 1, pro x ∈< 1, ∞),

1 − x, pro x ∈ (−∞, 1).

Vyuˇ

zijeme aditivnost urˇ

cit´

eho integr´

alu:

Z

3

−1

|x − 1| dx =

Z

1

−1

|x − 1| dx +

Z

3

1

|x − 1| dx =

=

Z

1

−1

(1 − x) dx +

Z

3

1

(x − 1) dx =

h

x −

1

2

x

2

i1

−1

+

h

1

2

x

2 − x

i3

1

= 4.

r´ıklad 2.3.3. Uˇ

zit´ım Newton – Leibnitzova vzorce vypoˇ

ctˇ

ete urˇ

cit´

e integr´

aly:

a)

Z

4

1

(3x − 11) dx

b)

Z

1

0

1

2x − 3

dx

c)

Z

3

0

|1 − 3x| dx

Témata, do kterých materiál patří