Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
c´ıtejte urˇ
cit´
e integr´
aly:
a)
Z
2
0
(1 + x
3)2 dx
b)
Z
2
0
(1 + x
3)2 x2 dx
c)
Z
2
0
ln(1 + x) dx
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
198
7
;
b)
728
9
;
c) 2 ln 2 − 1.
38
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
2.4
Nevlastn´ı integr´
al
Nevlastn´ı integr´
al 1. typu —
Z
∞
a
f (x) dx,
Z
b
−∞
f (x) dx nebo
Z
∞
−∞
f (x) dx.
Nevlastn´ı integr´
al 2. typu — integr´
al
Z
b
a
f (x) dx z neomezen´
e funkce na (a, b).
V´
ypoˇ
cet nevlastn´ıho integr´
alu — Necht’ je f integrovateln´
a na intervalu ha, ti pro
1.) kaˇ
zd´
e t > a a existuje limita lim
t→∞
Z
t
a
f (x) dx = I.
Potom nevlastn´ı integr´
al se rovn´
a t´
eto limitˇ
e:
Z
∞
a
f (x) dx = lim
t→∞
Z
t
a
f (x) dx.
2.) kaˇ
zd´
e a < t < b, funkce f (x) neohraniˇ
cen´
a v okol´ı bodu b a existuje limita
lim
t→b−
Z
t
a
f (x) dx = I. Potom nevlastn´ı integr´
al z neohraniˇ
cen´
e funkce se rovn´
a t´
eto
limitˇ
e:
Z
b
a
f (x) dx = lim
t→b−
Z
t
a
f (x) dx.
Nevlastn´ı integr´
al je konvergentn´ı — pokud limita I je koneˇ
cn´
e ˇ
c´ıslo.
Nevlastn´ı integr´
al je divergentn´ı — pokud limita I v definici nevlastn´ıho integr´
alu
se rovn´
a plus nebo minus nekoneˇ
cno, nebo kdyˇ
z tato limita neexistuje.
Pozn´
amka. Podobnˇ
e m˚
uˇ
zeme definovat nevlastn´ı integr´
al typu
Z
b
−∞
f (x) dx nebo
Z
b
a
f (x) dx,
kde funkce f (x) neohraniˇ
cen´
a v okol´ı bodu a.
Pˇ
r´ıklad 2.4.1. Vypoˇ
c´ıtejte n´
asleduj´ıc´ı nevlastn´ı integr´
aly:
a)
Z
∞
1
1
x
dx
b)
Z
∞
1
1
x2
dx
c)
Z
∞
0
1
x2 + 9
dx
d)
Z
∞
2
1
x ln
2 x
dx
e)
Z
∞
0
xe
−x dx
ˇ
Reˇsen´ı: a)
Z
∞
1
1
x
dx = lim
t→∞
Z
t
1
1
x
dx = lim
t→∞
h
ln x
it
1
= lim
t→∞
ln t − 0
= ∞ ⇒
integr´
al diverguje.
b)
Z
∞
1
1
x2
dx = lim
t→∞
Z
t
1
1
x2
dx = lim
t→∞
h
−
1
x
it
1
= lim
t→∞
−
1
t
+ 1
= 1.
c)
Z
∞
0
1
x2 + 9
dx = lim
t→∞
Z
t
0
1
x2 + 9