Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (501.86 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

c´ıtejte urˇ

cit´

e integr´

aly:

a)

Z

2

0

(1 + x

3)2 dx

b)

Z

2

0

(1 + x

3)2 x2 dx

c)

Z

2

0

ln(1 + x) dx

ˇ

Reˇsen´ı:

a)

198

7

;

b)

728

9

;

c) 2 ln 2 − 1.

38

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

2.4

Nevlastn´ı integr´

al

Nevlastn´ı integr´

al 1. typu —

Z

a

f (x) dx,

Z

b

−∞

f (x) dx nebo

Z

−∞

f (x) dx.

Nevlastn´ı integr´

al 2. typu — integr´

al

Z

b

a

f (x) dx z neomezen´

e funkce na (a, b).

ypoˇ

cet nevlastn´ıho integr´

alu — Necht’ je f integrovateln´

a na intervalu ha, ti pro

1.) kaˇ

zd´

e t > a a existuje limita lim

t→∞

Z

t

a

f (x) dx = I.

Potom nevlastn´ı integr´

al se rovn´

a t´

eto limitˇ

e:

Z

a

f (x) dx = lim

t→∞

Z

t

a

f (x) dx.

2.) kaˇ

zd´

e a < t < b, funkce f (x) neohraniˇ

cen´

a v okol´ı bodu b a existuje limita

lim

t→b−

Z

t

a

f (x) dx = I. Potom nevlastn´ı integr´

al z neohraniˇ

cen´

e funkce se rovn´

a t´

eto

limitˇ

e:

Z

b

a

f (x) dx = lim

t→b−

Z

t

a

f (x) dx.

Nevlastn´ı integr´

al je konvergentn´ı — pokud limita I je koneˇ

cn´

e ˇ

c´ıslo.

Nevlastn´ı integr´

al je divergentn´ı — pokud limita I v definici nevlastn´ıho integr´

alu

se rovn´

a plus nebo minus nekoneˇ

cno, nebo kdyˇ

z tato limita neexistuje.

Pozn´

amka. Podobnˇ

e m˚

zeme definovat nevlastn´ı integr´

al typu

Z

b

−∞

f (x) dx nebo

Z

b

a

f (x) dx,

kde funkce f (x) neohraniˇ

cen´

a v okol´ı bodu a.

r´ıklad 2.4.1. Vypoˇ

c´ıtejte n´

asleduj´ıc´ı nevlastn´ı integr´

aly:

a)

Z

1

1

x

dx

b)

Z

1

1

x2

dx

c)

Z

0

1

x2 + 9

dx

d)

Z

2

1

x ln

2 x

dx

e)

Z

0

xe

−x dx

ˇ

Reˇsen´ı: a)

Z

1

1

x

dx = lim

t→∞

Z

t

1

1

x

dx = lim

t→∞

h

ln x

it

1

= lim

t→∞

ln t − 0

= ∞ ⇒

integr´

al diverguje.

b)

Z

1

1

x2

dx = lim

t→∞

Z

t

1

1

x2

dx = lim

t→∞

h

1

x

it

1

= lim

t→∞

1

t

+ 1

= 1.

c)

Z

0

1

x2 + 9

dx = lim

t→∞

Z

t

0

1

x2 + 9

Témata, do kterých materiál patří