Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
setˇ
rete konvergenci n´
asleduj´ıc´ıch ˇ
c´ısel´
ych ˇ
rad s nez´
aporn´
ymi ˇ
cleny:
a)
∞
X
n=1
4 + 3n
2 + 5n
b)
∞
X
n=1
7
3
n
c)
∞
X
n=1
2n − 1
3n + 4
n
d)
∞
X
n=1
n!
3n
ˇ
Reˇsen´ı: a) lim
n→∞
4 + 3n
2 + 5n
=
3
5
6= 0. Nen´ı splnˇena nutn´
a podm´ınka konvergence,
ˇrada diverguje.
b) Ovˇ
eˇr´ıme nutnou podm´ınku konvergence: lim
n→∞
7
3
n
= ∞ 6= 0 ⇒ diverguje.
c) Pouˇ
zijeme odmocninov´
e krit´
erium.
lim
n→∞
n
s
2n − 1
3n + 4
n
= lim
n→∞
2n − 1
3n + 4
=
2
3
< 1
⇒ ˇrada konverguje.
d) Pouˇ
zijeme pod´ılov´
e krit´
erium.
lim
n→∞
(n + 1)!
3n+1
3n
n!
= lim
n→∞
(n + 1) n! 3n
3n 3 n!
= lim
n→∞
n + 1
3
= ∞ > 1 ⇒ diverguje.
Pˇ
r´ıklad 3.2.2. Pomoc´ı integr´
aln´ıho krit´
eria rozhodnˇ
ete o konvergenci n´
asleduj´ıc´ıch ˇ
rad:
a)
∞
X
n=1
ln n
n
b)
∞
X
n=2
1
n ln n
c)
∞
X
n=1
1
n2 + n
d)
∞
X
n=1
1
n2 + 16
e)
∞
X
n=1
1
n
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Zvol´ıme si funkci f (x) =
ln x
x
. Tato funkce je klesaj´ıc´ı a plat´ı, ˇ
ze
f (n) =
ln n
n
, n = 1, 2, . . . Vypoˇ
c´ıt´
ame si nevlastn´ı integr´
al:
Z
∞
1
f (x) dx =
Z
∞
1
ln x
x
dx = lim
A→∞
Z
A
1
ln x
x
dx =
ln x = t
1
x dx = dt
x = 1 ⇒ t = 0
x = A ⇒ t = ln A
=
= lim
A→∞
Z
ln A
0
t dt = lim
A→∞
t2
2
ln A
0
= lim
A→∞
1
2
ln
2 A − 0 = ∞.
Integr´
al diverguje, tedy i ˇrada
∞
X
n=1
ln n
n
diverguje.
46
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
b) f (x) =
1
x ln x
;
f (n) =
1
n ln n
, n = 2, 3 . . .
Potom
Z
∞
2
f (x) dx =
Z
∞
2
1
x ln x
dx = lim
A→∞
Z
A
2
1
x ln x
dx = lim
A→∞
Z
A
2
1
x
ln x
dx =
= lim
A→∞
h
ln | ln x|
iA
2
= lim
A→∞
ln | ln A| − ln | ln 2| = ∞ ⇒ ˇrada diverguje.
c) f (x) =
1
x2 + x
. Potom
Z
∞
1
f (x) dx =
Z
∞
1
1
x2 + x
dx = lim