Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (501.86 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

setˇ

rete konvergenci n´

asleduj´ıc´ıch ˇ

c´ısel´

ych ˇ

rad s nez´

aporn´

ymi ˇ

cleny:

a)

X

n=1

4 + 3n

2 + 5n

b)

X

n=1

 7

3

n

c)

X

n=1

 2n − 1

3n + 4

n

d)

X

n=1

n!

3n

ˇ

Reˇsen´ı: a) lim

n→∞

4 + 3n

2 + 5n

=

3

5

6= 0. Nen´ı splnˇena nutn´

a podm´ınka konvergence,

ˇrada diverguje.

b) Ovˇ

eˇr´ıme nutnou podm´ınku konvergence: lim

n→∞

 7

3

n

= ∞ 6= 0 ⇒ diverguje.

c) Pouˇ

zijeme odmocninov´

e krit´

erium.

lim

n→∞

n

s

 2n − 1

3n + 4

n

= lim

n→∞

 2n − 1

3n + 4

=

2

3

< 1

⇒ ˇrada konverguje.

d) Pouˇ

zijeme pod´ılov´

e krit´

erium.

lim

n→∞

(n + 1)!

3n+1

3n

n!

= lim

n→∞

(n + 1) n! 3n

3n 3 n!

= lim

n→∞

n + 1

3

= ∞ > 1 ⇒ diverguje.

r´ıklad 3.2.2. Pomoc´ı integr´

aln´ıho krit´

eria rozhodnˇ

ete o konvergenci n´

asleduj´ıc´ıch ˇ

rad:

a)

X

n=1

ln n

n

b)

X

n=2

1

n ln n

c)

X

n=1

1

n2 + n

d)

X

n=1

1

n2 + 16

e)

X

n=1

1

n

ˇ

Reˇsen´ı:

a) Zvol´ıme si funkci f (x) =

ln x

x

. Tato funkce je klesaj´ıc´ı a plat´ı, ˇ

ze

f (n) =

ln n

n

, n = 1, 2, . . . Vypoˇ

c´ıt´

ame si nevlastn´ı integr´

al:

Z

1

f (x) dx =

Z

1

ln x

x

dx = lim

A→∞

Z

A

1

ln x

x

dx =

ln x = t

1
x dx = dt

x = 1 ⇒ t = 0

x = A ⇒ t = ln A

=

= lim

A→∞

Z

ln A

0

t dt = lim

A→∞

 t2

2

ln A

0

= lim

A→∞

1

2

ln

2 A − 0 = ∞.

Integr´

al diverguje, tedy i ˇrada

X

n=1

ln n

n

diverguje.

46

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

b) f (x) =

1

x ln x

;

f (n) =

1

n ln n

, n = 2, 3 . . .

Potom

Z

2

f (x) dx =

Z

2

1

x ln x

dx = lim

A→∞

Z

A

2

1

x ln x

dx = lim

A→∞

Z

A

2

1

x

ln x

dx =

= lim

A→∞

h

ln | ln x|

iA

2

= lim

A→∞

ln | ln A| − ln | ln 2| = ∞ ⇒ ˇrada diverguje.

c) f (x) =

1

x2 + x

. Potom

Z

1

f (x) dx =

Z

1

1

x2 + x

dx = lim

Témata, do kterých materiál patří