Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
n=1
je klesaj´ıc´ı a lim
n→∞
3n
9n − 5
=
1
3
6= 0.
Podle Leibnitzova krit´
eria ˇrada
∞
X
n=1
(−1)
n 1
n
diverguje.
c) Posloupnost
1
(n + 4)2
∞
n=1
je klesaj´ıc´ı a lim
n→∞
1
(n + 4)2
= 0. Takˇ
ze ˇrada
∞
X
n=1
(−1)
n
1
(n + 4)2
konverguje.
Pˇ
r´ıklad 3.2.5. Rozhodnˇ
ete o absolutn´ı konvergenci n´
asleduj´ıc´ıch ˇ
rad:
a)
∞
X
n=1
(−1)
n 1
n
b)
∞
X
n=1
(−1)
n n + 1
2n
c)
∞
X
n=1
(−1)
n 1
n2
ˇ
Reˇsen´ı:
a) ˇ
Rada je alternuj´ıc´ı a podle pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu je konvergentn´ı.
ˇ
Rada
∞
X
n=1
(−1)
n 1
n
=
∞
X
n=1
1
n
diverguje dle integr´
aln´ıho krit´
eria.
Takˇ
ze ˇrada
∞
X
n=1
(−1)
n 1
n
konverguje neabsolutnˇ
e.
b) Posloupnost
n + 1
2n
∞
n=1
klesaj´ıc´ı a lim
n→∞
n + 1
2n
=
1
2
6= 0.
Podle Leibnitzova krit´
eria ˇrada
∞
X
n=1
(−1)
n n + 1
2n
diverguje, proto nem˚
uˇ
ze kon-
vergovat ani ˇrada
∞
X
n=1
(−1)
n n + 1
2n
. ˇ
Rada diverguje.
48
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
c) Posloupnost
1
n2
∞
n=1
je klesaj´ıc´ı a lim
n→∞
1
n2
= 0 ⇒
∞
X
n=1
(−1)
n 1
n2
konver-
guje podle Leibnitzova krit´
eria.
ˇ
Rada
∞
X
n=1
(−1)
n 1
n2
=
∞
X
n=1
1
n2
konverguje podle integr´
aln´ıho krit´
eria.
To znamen´
a, ˇ
ze ˇrada
∞
X
n=1
(−1)
n 1
n2
konverguje absolutnˇ
e.
Pˇ
r´ıklad 3.2.6. Rozhodnˇ
ete o konvergenci n´
asleduj´ıc´ıch ˇ
rad:
a)
∞
X
n=1
n
5n − 3
b)
∞
X
n=1
1
n
√
n
c)
∞
X
n=1
1 +
1
n + 3
2n
d)
∞
X
n=1
(−1)
n 5n + 1
2n − 3
e)
∞
X
n=1
8
4n
ˇ
Reˇsen´ı: a) diverguje; b) konverguje; c) diverguje; d) diverguje; e) konverguje.
3.3
Mocninn´
e ˇ
rady
Mocninn´
a ˇ
rada se stˇ
redem v bodˇ
e x0 — ˇrada tvaru
∞
X
n=0
an (x − x0)
n, x ∈ R.
Obor konvergence mocninn´
e ˇ
rady — mnoˇ
zina vˇsech x, pro kter´
a mocninn´
a ˇrada
konverguje.
Polomˇ
er konvergence mocninn´
e ˇ
rady se stˇ
redem v bodˇ
e x0 — re´
aln´
e ˇ
c´ıslo r
takov´
e, ˇ
ze mocninn´
a ˇrada
∞
X
n=0
an (x − x0)
n = a
0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)