Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
se stˇredem v poˇ
c´
atku a s polomˇ
erem 2.
Grafem funkce je horn´ı polovina kulov´
e plochy x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0.
b) Zde mus´ı platit
x2 + y2 − 6
3
≥ −1 a
x2 + y2 − 6
3
≤ 1. Po ´
upravˇ
e dostaneme
definiˇ
cn´ı obor Df = {[x, y] ∈ R
2 | x2 + y2 ≥ 3 a x2 + y2 ≤ 9}, coˇz je
mezikruˇ
z´ı ohraniˇ
cen´
e kruˇ
znicemi s polomˇ
ery
√
3 a 3 se stˇredem v poˇ
c´
atku.
Pˇ
r´ıklad 4.0.2. Najdˇ
ete parci´
aln´ı derivaci funkce z =
y
x + y
.
ˇ
Reˇsen´ı:
Nejdˇr´ıve spoˇ
c´ıt´
ame
∂z
∂x
. Pˇri poˇ
c´ıt´
an´ı povaˇ
zujeme y za konstantu a
derivujeme z jako funkci jedn´
e promˇ
enn´
e x.
∂z
∂x
=
0 · (x + y) − 1 · y
(x + y)2
= −
y
(x + y)2
.
Podobnˇ
e pˇri poˇ
c´ıt´
an´ı
∂z
∂y
povaˇ
zujeme x za konstantu a derivujeme z jako
funkci jedn´
e promˇ
enn´
e y.
∂z
∂y
=
1 · (x + y) − y · 1
(x + y)2
=
x
(x + y)2
.
Pˇ
r´ıklad 4.0.3. Najdˇ
ete parci´
aln´ı derivace funkce z podle jednotliv´
ych promˇ
enn´
ych
a) z = x2 + y2 − 3xy + 4x + 5y − 7
b) z = y sin(2x − y)
c) z = x2 cos(x + 3y)
d) z = xy, x > 0
e) z = arccos
y
x
f ) z = arctg
x + y
x − y
g) z = ln sin (x − 2y)
h) z = ln (x +
p
x2 + y2)
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
53
ˇ
Reˇsen´ı:
a) z0
x = 2x − 3y + 4, z
0
y = 2y − 3x + 5;
b) z0
x = 2 y cos(2x − y),
z0
y = sin(2x − y) − y cos(2x − y);
c) z0
x = 2x cos(x + 3y) − x
2 sin(x + 3y),
z0
y = −3x
2 sin(x + 3y); d) z0
x = yx
y−1, z0
y = x
y ln x;
e) z0
x =
y
x
√
x2−y2
,
z0
y =
−1
√
x2−y2
;
f) z0
x =
−y
x2+y2 , z
0
y =
x
x2+y2 ;
g) z0
x = cotg (x − 2y),
z0
y = −2 cotg (x − 2y);