Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
t´
eho ˇr´
adu je parci´
aln´ı derivace funkce, kter´
a sama vznikla jako (n − 1)-n´ı derivace. Pˇri
poˇ
c´ıt´
an´ı parci´
aln´ıch derivac´ı vyˇsˇs´ıch ˇr´
ad˚
u nez´
aleˇ
z´ı na poˇrad´ı, v jak´
em poˇ
c´ıt´
ame derivace
podle jednotliv´
ych promˇ
enn´
ych, jsou-li tyto derivace spojit´
e.
Teˇ
cn´
a rovina k ploˇ
se – Tak jako u funkce jedn´
e promˇ
enn´
e jsme mohli vyuˇ
z´ıt derivaci
v bodˇ
e k zaps´
an´ı teˇ
cny v tomto bodˇ
e, m˚
uˇ
zeme vyuˇ
z´ıt parci´
aln´ıch derivac´ı pˇri hled´
an´ı
teˇ
cn´
e roviny k ploˇse. Nˇ
ekdy se jedn´
a o plochu, kter´
a je grafem funkce dvou promˇ
enn´
ych
z = f (x, y). V tomto pˇr´ıpadˇ
e ˇr´ık´
ame, ˇ
ze plocha je dan´
a explicitnˇ
e. Nˇ
ekdy z rovnice plochy
neum´ıme vyj´
adˇrit promˇ
ennou z, napˇr´ıklad u kulov´
e plochy. V tomto pˇr´ıpadˇ
e ˇr´ık´
ame, ˇ
ze
plocha je dan´
a implicitnˇ
e.
Rovnice teˇ
cn´
e roviny ρ k ploˇse z = f (x, y) v bodˇ
e T = [x0, y0, z0 = f (x0, y0)] :
ρ :
∂f
∂x
(T )(x − x0) +
∂f
∂y
(T )(y − y0) − (z − z0) = 0.
Teˇ
cn´
a rovina k ploˇ
se dan´
e implicitnˇ
e rovnic´ı F (x, y, z) = 0 v bodˇ
e T = [x0, y0, z0],
pro kter´
y plat´ı F (x0, y0, z0) = 0, m´
a rovnici:
52
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
ρ :
∂F
∂x
(T )(x − x0) +
∂F
∂y
(T )(y − y0) +
∂F
∂z
(T )(z − z0) = 0.
Pˇ
r´ıklad 4.0.1. Najdˇ
ete definiˇ
cn´ı obor funkce:
a) f (x, y) =
p
4 − x2 − y2
b) f (x, y) = arcsin
x2 + y2 − 6
3
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Pˇrirozen´
y definiˇ
cn´ı obor t´
eto funkce tvoˇr´ı body, pro kter´
e plat´ı
4 − x2 − y2 ≥ 0, tedy Df = {[x, y] ∈ R
2 | x2 + y2 ≤ 4}, coˇz je uzavˇren´y kruh