Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

t´

eho ˇr´

adu je parci´

aln´ı derivace funkce, kter´

a sama vznikla jako (n − 1)-n´ı derivace. Pˇri

poˇ

c´ıt´

an´ı parci´

aln´ıch derivac´ı vyˇsˇs´ıch ˇr´

ad˚

u nez´

aleˇ

z´ı na poˇrad´ı, v jak´

em poˇ

c´ıt´

ame derivace

podle jednotliv´

ych promˇ

enn´

ych, jsou-li tyto derivace spojit´

e.

Teˇ

cn´

a rovina k ploˇ

se – Tak jako u funkce jedn´

e promˇ

enn´

e jsme mohli vyuˇ

z´ıt derivaci

v bodˇ

e k zaps´

an´ı teˇ

cny v tomto bodˇ

e, m˚

uˇ

zeme vyuˇ

z´ıt parci´

aln´ıch derivac´ı pˇri hled´

an´ı

teˇ

cn´

e roviny k ploˇse. Nˇ

ekdy se jedn´

a o plochu, kter´

a je grafem funkce dvou promˇ

enn´

ych

z = f (x, y). V tomto pˇr´ıpadˇ

e ˇr´ık´

ame, ˇ

ze plocha je dan´

a explicitnˇ

e. Nˇ

ekdy z rovnice plochy

neum´ıme vyj´

adˇrit promˇ

ennou z, napˇr´ıklad u kulov´

e plochy. V tomto pˇr´ıpadˇ

e ˇr´ık´

ame, ˇ

ze

plocha je dan´

a implicitnˇ

e.

Rovnice teˇ

cn´

e roviny ρ k ploˇse z = f (x, y) v bodˇ

e T = [x0, y0, z0 = f (x0, y0)] :

ρ :

∂f

∂x

(T )(x − x0) +

∂f

∂y

(T )(y − y0) − (z − z0) = 0.

Teˇ

cn´

a rovina k ploˇ

se dan´

e implicitnˇ

e rovnic´ı F (x, y, z) = 0 v bodˇ

e T = [x0, y0, z0],

pro kter´

y plat´ı F (x0, y0, z0) = 0, m´

a rovnici:

52

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

ρ :

∂F

∂x

(T )(x − x0) +

∂F

∂y

(T )(y − y0) +

∂F

∂z

(T )(z − z0) = 0.

Pˇ

r´ıklad 4.0.1. Najdˇ

ete definiˇ

cn´ı obor funkce:

a) f (x, y) =

p

4 − x2 − y2

b) f (x, y) = arcsin

x2 + y2 − 6

3

ˇ

Reˇsen´ı:

a) Pˇrirozen´

y definiˇ

cn´ı obor t´

eto funkce tvoˇr´ı body, pro kter´

e plat´ı

4 − x2 − y2 ≥ 0, tedy Df = {[x, y] ∈ R

2 | x2 + y2 ≤ 4}, coˇz je uzavˇren´y kruh