Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

e ˇ

rady

∞

X

n=1

(x − 2)n

n 2n

.

ˇ

Reˇsen´ı:

M = h0, 4).

Pˇ

r´ıklad 3.3.7. Urˇ

cete obor konvergence mocninn´

e ˇ

rady

∞

X

n=0

x

n se stˇredem v 0.

ˇ

Reˇsen´ı:

(−1, 1).

MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´

uloh

51

4

Diferenci´

aln´ı poˇ

cet funkce v´ıce promˇ

enn´

ych

Funkce n promˇ

enn´

ych — funkce f : R

n → R, kter´a zobrazuje bod (x1, . . . , xn) ∈ Rn

do bodu y ∈ R. Znaˇc´ıme y = f (x1, . . . , xn).

Definiˇ

cn´ı obor funkce n promˇ

enn´

ych — mnoˇ

zina A ⊂ R

n bod˚

u, pro kter´

e m´

a de-

finiˇ

cn´ı pˇredpis funkce smysl.

Funkce dvou promˇ

enn´

ych — funkce f : R

2 → R. Znaˇc´ıme z = f(x, y). Definiˇcn´ım

oborem takov´

e funkce je ˇ

c´

ast roviny. Grafem je zpravidla plocha.

Parci´

aln´ı derivace funkce n promˇ

enn´

ych podle xi — je derivace funkce jedn´e promˇenn´e

g(x) = f (x1, . . . , xi−1, x, xi+1, . . . , xn). Znaˇc´ıme

∂f

∂xi

nebo tak´

e f 0

xi .

Parci´

aln´ı derivace druh´

eho ˇ

r´

adu — f 00

xixj (x1, . . . , xn) = (f

0

xi (x1, . . . , xn))

0
xj . Je to parci´

aln´ı

derivace funkce f 0

xi (x1, . . . , xn), podle promˇ

enn´

e xj. Znaˇc´ıme tak´e

∂f 2

∂xi∂xj

.

Gradient funkce f v bodˇ

e A — vektor

gradf (A) = (f

0

x1 (A), . . . , f

0

xn (A)).

Znaˇ

c´ıme tak´

e ∇f (A). Je to smˇ

er, ve kter´

em funkce nejrychleji roste.

Pozn´

amka. Pˇri poˇ

c´ıt´

an´ı parci´

aln´ıch derivac´ı f 0

xi povaˇ

zujeme za promˇ

ennou pouze xi,

na ostatn´ı promˇ

enn´

e se d´ıv´

ame jako na konstanty. Pro v´

ypoˇ

cet parci´

aln´ıch derivac´ı plat´ı

pravidla o derivov´

an´ı souˇ

ctu, souˇ

cinu a pod´ılu funkc´ı.

Pozn´

amka. M˚

uˇ

zeme poˇ

c´ıtat i parci´

aln´ı derivace vyˇsˇs´ıch ˇr´

ad˚

u. Parci´

aln´ı derivace n -