Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
z´ı uvnitˇr
nebo na hranici tohoto intervalu a podobnˇ
e bod x = 4 leˇ
z´ı na hranici nebo
mimo tento interval. Z toho plyne, ˇ
ze polomˇ
er konvergence r ∈ (2, 3).
Potom ˇrada s jistotou konverguje v bodech x = 0, x = 1 a x = 2 a s jistotou
diverguje v bodech x = −3 a x = 5 .
Pˇ
r´ıklad 3.3.3. Urˇ
cete obor konvergence mocninn´
e ˇ
rady
∞
X
n=1
(x + 1)n
n 3n
.
ˇ
Reˇsen´ı:
Stˇred ˇrady je −1 a polomˇ
er r si vypoˇ
c´ıt´
ame podle vzorce.
lim
n→∞
n
r
1
n 3n
= lim
n→∞
1
n
√
n 3
=
1
3
lim
n→∞
1
n
√
n
=
1
3
⇒ r = 3.
ˇ
Rada konverguje absolutnˇ
e na (−4, 2) a diverguje na x ∈ (−∞, −4) ∪ (2, ∞).
O konvergenci v bodech x = −4 a x = 2 rozhodneme dosazen´ım. Pro x = −4
m´
ame
∞
X
n=1
(−3)n
n 3n
=
∞
X
n=1
(−1)n3n
n 3n
=
∞
X
n=1
(−1)n
n
. Dostali jsme alternuj´ıci ˇradu,
kter´
a je konvergentn´ı (podle Leibnitzova krit´
eria z pˇredchoz´ı kapitoly).
Podobnˇ
e pro x = 2 dostaneme ˇradu
∞
X
n=1
3n
n 3n
=
∞
X
n=1
1
n
, kter´
a je divergentn´ı
(integr´
aln´ı krit´
erium). Z toho plyne, ˇ
ze mocninn´
a ˇrada diverguje pro x = 2 .
Oborem konvergence t´
eto mocninn´
e ˇrady je tedy mnoˇ
zina h−4, 2).
50
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
Pˇ
r´ıklad 3.3.4. Urˇ
cete obor konvergence mocninn´
e ˇ
rady
∞
X
n=0
n
n xn se stˇredem v 0.
ˇ
Reˇsen´ı:
lim
n→∞
n
√
nn = lim
n→∞
n = ∞
⇒ M = {0}.
Pˇ
r´ıklad 3.3.5. Mocninn´
a ˇ
rada
∞
X
n=0
an (x − 2)
n m´a polomˇer konvergence 3. Rozhodnˇete
o konvergenci ˇ
rady v bodech x = 0, x = −1, x = −2, x = 2.
ˇ
Reˇsen´ı:
Konverguje v bodech x = 0 a x = 2, diverguje v bodˇ
e x = −2 a v
bodˇ
e x = −1 nelze rozhodnout o konvergenci.
Pˇ
r´ıklad 3.3.6. Urˇ
cete obor konvergence mocninn´