Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (501.86 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

z´ı uvnitˇr

nebo na hranici tohoto intervalu a podobnˇ

e bod x = 4 leˇ

z´ı na hranici nebo

mimo tento interval. Z toho plyne, ˇ

ze polomˇ

er konvergence r ∈ (2, 3).

Potom ˇrada s jistotou konverguje v bodech x = 0, x = 1 a x = 2 a s jistotou

diverguje v bodech x = −3 a x = 5 .

r´ıklad 3.3.3. Urˇ

cete obor konvergence mocninn´

e ˇ

rady

X

n=1

(x + 1)n

n 3n

.

ˇ

Reˇsen´ı:

Stˇred ˇrady je −1 a polomˇ

er r si vypoˇ

c´ıt´

ame podle vzorce.

lim

n→∞

n

r

1

n 3n

= lim

n→∞

1

n

n 3

=

1

3

lim

n→∞

1

n

n

=

1

3

⇒ r = 3.

ˇ

Rada konverguje absolutnˇ

e na (−4, 2) a diverguje na x ∈ (−∞, −4) ∪ (2, ∞).

O konvergenci v bodech x = −4 a x = 2 rozhodneme dosazen´ım. Pro x = −4

ame

X

n=1

(−3)n

n 3n

=

X

n=1

(−1)n3n

n 3n

=

X

n=1

(−1)n

n

. Dostali jsme alternuj´ıci ˇradu,

kter´

a je konvergentn´ı (podle Leibnitzova krit´

eria z pˇredchoz´ı kapitoly).

Podobnˇ

e pro x = 2 dostaneme ˇradu

X

n=1

3n

n 3n

=

X

n=1

1

n

, kter´

a je divergentn´ı

(integr´

aln´ı krit´

erium). Z toho plyne, ˇ

ze mocninn´

a ˇrada diverguje pro x = 2 .

Oborem konvergence t´

eto mocninn´

e ˇrady je tedy mnoˇ

zina h−4, 2).

50

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

r´ıklad 3.3.4. Urˇ

cete obor konvergence mocninn´

e ˇ

rady

X

n=0

n

n xn se stˇredem v 0.

ˇ

Reˇsen´ı:

lim

n→∞

n

nn = lim

n→∞

n = ∞

⇒ M = {0}.

r´ıklad 3.3.5. Mocninn´

a ˇ

rada

X

n=0

an (x − 2)

n m´a polomˇer konvergence 3. Rozhodnˇete

o konvergenci ˇ

rady v bodech x = 0, x = −1, x = −2, x = 2.

ˇ

Reˇsen´ı:

Konverguje v bodech x = 0 a x = 2, diverguje v bodˇ

e x = −2 a v

bodˇ

e x = −1 nelze rozhodnout o konvergenci.

r´ıklad 3.3.6. Urˇ

cete obor konvergence mocninn´

Témata, do kterých materiál patří