Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
e A podle vˇ
sech promˇ
enn´
ych
a) f (x, y) =
x + y
x − y
,
A = [3, 2]
b) f (x, y, z) = ln(x
2 + y2 + z2),
A = [3, 2, 1]
c) f (x, y) =
x
y
+
y
x
,
A = [1, 1]
d) f (x, y, z) =
x
y
+
y
z
−
z
x
,
A = [1, 1, 1]
ˇ
Reˇsen´ı:
a) f 0
x(A) = −4, f
0
y (A) = 6;
b) f 0
x(A) =
3
7 , f
0
y (A) =
2
7 , f
0
z (A) =
1
7 ;
c) f 0
x(A) = 0, f
0
y (A) = 0;
d) f 0
x(A) = 2, f
0
y (A) = 0, f
0
z (A) = −2.
Pˇ
r´ıklad 4.0.11. Najdˇ
ete hodnotu souˇ
ctu
∂u
∂x
+
∂u
∂y
+
∂u
∂z
v bodˇ
e A = [1, 1, 1] pro funkci
f (x, y, z) = ln(1 + x + y
2 + z3).
ˇ
Reˇsen´ı:
∂u
∂x
+
∂u
∂y
+
∂u
∂z
A
=
1
1 + x + y2 + z3
+
2y
1 + x + y2 + z3
+
3z2
1 + x + y2 + z3
A
=
3
2
.
Pˇ
r´ıklad 4.0.12. Najdˇ
ete gradient funkce f v bodˇ
e A
a) f (x, y) = x
3 + y3 − 3xy,
A = [2, 1]
b) f (x, y, z) = x e
z+2y ,
A = [1, −1, 2]
c) f (x, y, z) =
x
x2 + y2 + z2
,
A = [1, 2, 2]
d) f (x, y, z) = xyz,
A = [1, 2, 3]
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
∂f
∂x
A
= 3x
2 − 3y
A
= 9,
∂f
∂y
A
= 3y
2 − 3x
A
= −3.
Z toho gradient funkce v bodˇ
e A je vektor gradf (A) = (9, −3).
b)∇f (A) = (1, 2, 1);
c)∇f (A) =
1
81 (7, −4, −4);
d)∇f (A) = (6, 3, 2).
Pˇ
r´ıklad 4.0.13. Napiˇ
ste rovnici teˇ
cn´
e roviny k n´
asleduj´ıc´ım ploch´
am v bodˇ
e T = [x0, y0, z0]:
(a) z =
x2
2
− y
2,
T = [2, −1, ?]
(b)
x3 + y3 + z3 + xyz − 6 = 0,
T = [1, 2, −1]
(c)
z =
px2 + y2 − xy,
T = [3, 4, ?]
(d) 3x4 − 4y3z + 4xyz2 − 4z3x + 1 = 0,
T = [?, 1, 1]
(e)
z = 2x2 − 4y2,
T = [2, 1, ?]
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
55
ˇ
Reˇsen´ı: