Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

a) Mnoˇ

zina M je ohraniˇ

cen´

a parabolou y = 2x − x2 a pˇ

r´ımkou y = −x.

b) Mnoˇ

zina M ohraniˇ

cen´

a pˇ

r´ımkami y = x, y = −x, y = 2.

c) Mnoˇ

zina M je ohraniˇ

cen´

a grafy funkc´ı y = x, y = x3.

ˇ

Reˇsen´ı:

a) Parabola y = 2x − x2 m´

a rovnici y − 1 = −(x − 1)2, tedy vrchol

v bodˇ

e (1, 1), otevˇren´

a smˇ

erem dol˚

u. Pr˚

useˇ

c´ıky s pˇr´ımkou y = −x jsou v

bodech (0, 0), (3, −3).

Pro (x, y) ∈ M tedy plat´ı

0 ≤

x ≤ 3

−x ≤

y ≤ −x2 + 2x

Tedy M je element´

arn´ı oblast´ı typu [x, y].

60

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

2

y=2x-x

y=-x

M

y

x

–3

1

3

2

y=x

y=-x

M

y

x

–2

2

Obr´

azek 5.3: a) oblast typu [x, y]

Obr´

azek 5.4: b) oblast typu [y, x]

b) Vtomto pˇr´ıpadˇ

e je v´

yhodnˇ

ejˇs´ı vyj´

adˇren´ı (x, y) ∈ M ⇒

0 ≤ y ≤ 2

−y ≤ x ≤ y.

Tedy M je element´

arn´ı oblast´ı typu [y, x].

c) Mnoˇ

zina M v tomto pˇr´ıpadˇ

e nen´ı element´

arn´ı oblast; d´

a se vyj´

adˇrit jako

sjednocen´ı dvou element´

arn´ıch oblast´ı, napˇr. typu [x, y]:

M = M1 ∪ M2

M1 :

0 ≤

x ≤ 1

x3 ≤

y ≤ x

M2 :

−1 ≤

x ≤ 0

x ≤

y ≤ x3

1

2

3

y=x

y=x

M

M

y

x

–1

1

–1

1

Pˇ

r´ıklad 5.1.4. Zn´

azornˇ

ete mnoˇ

ziny ohraniˇ

cen´

e dan´

ymi kˇ

rivkami a popiˇ

ste je pomoc´ı

nerovnic:

a) y = 5 − 2x, y =

3

x

b) y = ex, y = e−x, x = 1

c) y = x + 3, y = x2 + 1

d) y =

x
4 + 1, y =

√

x, x = 0

ˇ

Reˇsen´ı:

a) 1 ≤ x ≤

3
2 ,

3
x ≤ y ≤ 5 − 2x;

b) 0 ≤ x ≤ 1, e−x ≤ y ≤ ex;

c) −1 ≤ x ≤ 2, x2 + 1 ≤ y ≤ x + 3;

d) 0 ≤ x ≤ 4,

√

x ≤ y ≤

x
4 + 1.

MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´