Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
uloh
61
Pˇ
r´ıklad 5.1.5. Vypoˇ
ctˇ
ete
ZZ
M
x − y dxdy, kde M je ohraniˇ
cen´
a kˇ
rivkami y = x2, y2 = x.
ˇ
Reˇsen´ı:
2
2
x=y
y=x
M
y
x
–1
1
–1
1
M je element´
arn´ı oblast typu [x, y]
popsan´
a nerovnostmi
M :
0 ≤
x ≤ 1
x2 ≤
y ≤
√
x
ZZ
M
x − y dxdy =
Z
1
0
Z
√
x
x2
x − y dy
!
dx =
Z
1
0
xy −
y2
2
y=
√
x
y=x2
dx =
=
Z
1
0
x
3/2 −
x
2
− x
3 +
x4
2
dx =
2
5
x
5/2 −
x2
4
−
x4
4
+
x5
10
1
0
= 0
Pˇ
r´ıklad 5.1.6. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
al
ZZ
M
x
2 + y dxdy, kde oblast M je ohraniˇcen´a pˇr´ımkami
y = 0, y = x, x + y = 2.
ˇ
Reˇsen´ı:
y=2-x
y=x
M
y
x
1
1
2
M je element´
arn´ı oblast typu [y, x]
popsan´
a nerovnostmi
M :
0 ≤
y ≤ 1
y ≤
x ≤ 2 − y
ZZ
M
x
2 + y dxdy =
Z
1
0
Z 2−y
y
x
2 + y dx
dy =
Z
1
0
x3
3
+ xy
x=2−y
x=y
dy =
=
Z
1
0
2
3
(4 − 3y − y
3)dy =
2
3
4y − 3
y2
2
−
y4
4
1
0
=
3
2
62
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
Pˇ
r´ıklad 5.1.7. Vypoˇ
c´ıtejte dvojn´
e integr´
aly pˇ
res oblast O :
a)
ZZ
O
x
x2 + y2
dx dy,
kde O je ohraniˇ
cen´
a pˇ
r´ımkami: y = x, y =
√
3x, x = 2.
b)
ZZ
O
2y − x dx dy,
kde O je ohraniˇ
cen´
a kˇ
rivkami: y = x2, y = 3x.
c)
ZZ
O
x2
y2
dx dy,
kde O je ohraniˇ
cen´
a kˇ
rivkami: y = x, x = 2, yx = 1.
d)
ZZ
O
x
2 + y dx dy,
kde O je ohraniˇ
cen´
a parabolami: y = x2, y2 = x.
e)
ZZ
O
cos(x + y) dx dy, kde O je ohraniˇ
cen´
a pˇ
r´ımkami: y = x, x = 0, y = π.
f )
ZZ
O
e
x
y
dx dy,
kde O je ohraniˇ
cen´
a kˇ
rivkami: y2 = x, x = 0, y = 1, y = 2.
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
π
6
;
b)
68
5
;
c)
9
4
;
d)
33
140
;
e) −2;
f)
1
2
.
Pˇ
r´ıklad 5.1.8. Vypoˇ
c´ıtejte dvojn´
e integr´
aly:
a)
ZZ
I
sin(3x + 2y) dx dy, I =
D
0,
π
4
E
×
D
0,
π
4
E
b)
Z
ln 2
0
Z
0
−1
2x e
y dx dy
c)
ZZ
O
x2
y2
dx dy,
kde oblast O je ohraniˇ
cen´
a kˇrivkami: