Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
dx
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Funkce f (x) =
1
x
je neohraniˇ
cen´
a v okol´ı nuly, proto poˇ
c´ıt´
ame:
Z
1
0
1
x
dx = lim
t→0+
Z
1
t
1
x
dx = lim
t→0+
h
ln x
i1
t
= lim
t→0+
0 − ln t
= ∞ ⇒ diverguje.
b) Funkce f (x) =
2
3
√
x
je neohraniˇ
cen´
a v okol´ı nuly. Proto:
Z
0
−1
2
3
√
x
dx = lim
t→0−
Z
t
−1
2 x
− 1
3
dx = lim
t→0−
h
3 x
2
3
it
−1
= lim
t→0−
3
3
√
t2 − 3
= −3.
c) Funkce
f (x) = x ln x
je neohraniˇ
cen´
a v okol´ı nuly. Integr´
al poˇ
c´ıt´
ame
metodou per partes.
Z
1
0
x ln x dx = lim
t→0+
Z
1
t
x ln x dx = lim
t→0+
h
x2
2
ln x
i1
t
−
Z
1
t
x
2
dx
=
= lim
t→0+
1
2
ln 1 −
t2
2
ln t −
h
x2
4
i1
t
= lim
t→0+
−
1
2
t
2 ln t −
1
4
+
t2
4
=
= −
1
4
−
1
2
lim
t→0+
t
2 ln t = −
1
4
−
1
2
lim
t→0+
ln t
t−2
= −
1
4
−
1
2
lim
t→0+
1
t
−2t−3
=
= −
1
4
−
1
2
lim
t→0+
1
t
− 2
t3
= −
1
4
−
1
2
lim
t→0+
−
t2
2
= −
1
4
−
1
2
· 0 = −
1
4
.
d) V´ıme, ˇ
ze cos 0 = 1. Proto funkce f (x) =
sin x
√
1 − cos x
je neohraniˇ
cen´
a v
okol´ı nuly. Integr´
al poˇ
c´ıt´
ame substituˇ
cn´ı metodou.
Z
π
2
0
sin x
√
1 − cos x
dx = lim
t→0+
Z
π
2
t
sin x
√
1 − cos x
dx =
1 − cos x = u
sin x dx = du
x = t ⇒ u = 1 − cos t
x =
π
2
⇒ u = 1
=
= lim
t→0+
Z
1
1−cos t
1
√
u
du = lim
t→0+
Z
1
1−cos t
u
− 1
2
= lim
t→0+
h
2
√
u
i1
1−cos t
=
= lim
t→0+
2
√
1 − 2
√
1 − cos t
= 2.
e) Funkce f (x) =
1
x − 2
je neohraniˇ
cen´
a v okol´ı bodu x = 2, kter´
y leˇ
z´ı v
intervalu (1, 3). Integr´
al proto mus´ıme rozdˇ
elit na dva nevlastn´ı integr´
aly.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
41
Z
3
1
1
x − 2
dx =
Z
2
1
1
x − 2
dx +
Z
3
2
1
x − 2
dx =
= lim
t→2−
Z
t
1
1
x − 2
dx + lim
t→2+
Z
3
t
1
x − 2
dx =
= lim
t→2−
h
ln |x − 2|
it
1
+ lim
t→2+
h
ln |x − 2|
i3
t
=
= lim
t→2−
ln |t − 2| − ln 1