Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (501.86 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

dx

ˇ

Reˇsen´ı:

a) Funkce f (x) =

1

x

je neohraniˇ

cen´

a v okol´ı nuly, proto poˇ

c´ıt´

ame:

Z

1

0

1

x

dx = lim

t→0+

Z

1

t

1

x

dx = lim

t→0+

h

ln x

i1

t

= lim

t→0+

0 − ln t

= ∞ ⇒ diverguje.

b) Funkce f (x) =

2

3

x

je neohraniˇ

cen´

a v okol´ı nuly. Proto:

Z

0

−1

2

3

x

dx = lim

t→0−

Z

t

−1

2 x

− 1

3

dx = lim

t→0−

h

3 x

2
3

it

−1

= lim

t→0−

3

3

t2 − 3

= −3.

c) Funkce

f (x) = x ln x

je neohraniˇ

cen´

a v okol´ı nuly. Integr´

al poˇ

c´ıt´

ame

metodou per partes.

Z

1

0

x ln x dx = lim

t→0+

Z

1

t

x ln x dx = lim

t→0+

h

x2

2

ln x

i1

t

Z

1

t

x

2

dx

=

= lim

t→0+

1

2

ln 1 −

t2

2

ln t −

h

x2

4

i1

t

= lim

t→0+

1

2

t

2 ln t −

1

4

+

t2

4

=

= −

1

4

1

2

lim

t→0+

t

2 ln t = −

1

4

1

2

lim

t→0+

ln t

t−2

= −

1

4

1

2

lim

t→0+

1

t

−2t−3

=

= −

1

4

1

2

lim

t→0+

1

t

− 2

t3

= −

1

4

1

2

lim

t→0+

t2

2

= −

1

4

1

2

· 0 = −

1

4

.

d) V´ıme, ˇ

ze cos 0 = 1. Proto funkce f (x) =

sin x

1 − cos x

je neohraniˇ

cen´

a v

okol´ı nuly. Integr´

al poˇ

c´ıt´

ame substituˇ

cn´ı metodou.

Z

π

2

0

sin x

1 − cos x

dx = lim

t→0+

Z

π

2

t

sin x

1 − cos x

dx =

1 − cos x = u

sin x dx = du

x = t ⇒ u = 1 − cos t

x =

π

2

⇒ u = 1

=

= lim

t→0+

Z

1

1−cos t

1

u

du = lim

t→0+

Z

1

1−cos t

u

− 1

2

= lim

t→0+

h

2

u

i1

1−cos t

=

= lim

t→0+

2

1 − 2

1 − cos t

= 2.

e) Funkce f (x) =

1

x − 2

je neohraniˇ

cen´

a v okol´ı bodu x = 2, kter´

y leˇ

z´ı v

intervalu (1, 3). Integr´

al proto mus´ıme rozdˇ

elit na dva nevlastn´ı integr´

aly.

MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´

uloh

41

Z

3

1

1

x − 2

dx =

Z

2

1

1

x − 2

dx +

Z

3

2

1

x − 2

dx =

= lim

t→2−

Z

t

1

1

x − 2

dx + lim

t→2+

Z

3

t

1

x − 2

dx =

= lim

t→2−

h

ln |x − 2|

it

1

+ lim

t→2+

h

ln |x − 2|

i3

t

=

= lim

t→2−

ln |t − 2| − ln 1

Témata, do kterých materiál patří