Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Pravidla pro v´
ypoˇ
cet neurˇ
cit´
ych integr´
al˚
u:
•
Z
a f (x) dx = a
Z
f (x) dx, a ∈ R
•
Z
f (x) ± g(x)
dx =
Z
f (x) dx ±
Z
g(x) dx
•
Z
f 0(x)
f (x)
dx = ln |f (x)| + C,
f (x) 6= 0
• metoda per partes:
Z
u
0(x) v(x) dx = u(x) v(x) −
Z
u(x) v
0(x) dx
• substituˇcn´ı metoda:
Z
f
ϕ(x)
ϕ
0(x) dx =
t = ϕ(x)
dt = ϕ0(x) dx
=
Z
f (t) dt
Pˇ
r´ıklad 2.1.1. Vypoˇ
ctˇ
ete integr´
aly:
a)
Z
6
x3
dx
b)
Z
(7 cos x − e
x) dx
c)
Z
5
x2 + 4
dx
d)
Z
10x
x2 + 4
dx
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
Z
6 dx
x3
= 6
Z
x
−3 dx =
6x−2
−2
+ C = −
3
x2
+ C
b)
R (7 cos x − ex) dx = 7 R cos x dx − R ex dx = 7 sin x − ex + C
c)
Z
5
x2 + 4
dx = 5
Z
1
x2 + 22
dx =
5
2
arctg
x
2
+ C
d)
Z
10x
x2 + 4
dx = 5
Z
2x
x2 + 4
dx = 5
Z
(x2 + 4)0
x2 + 4
dx = 5 ln (x
2 + 4) + C
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
25
Vzorce pro integraci element´
arn´ıch funkc´ı
Vzorec pro neurˇ
cit´
y integr´
al
Podm´ınky platnosti vzorce
R 0 dx = c (c ∈ R)
x ∈ (−∞, ∞)
R 1 dx = x + c
x ∈ (−∞, ∞)
Z
x
n dx =
xn+1
n + 1
+ c
x ∈ (−∞, ∞), n ∈ N
Z
x
r dx =
xr+1
r + 1
+ c
x ∈ (0, ∞), r ∈ R \ {−1}
Z
1
x
dx = ln |x| + c
x ∈ (−∞, 0) ∪ (0, ∞)
R ex dx = ex + c
x ∈ (−∞, ∞)
Z
a
x dx =
ax
ln a
+ c
x ∈ (−∞, ∞), a > 0, a 6= 1
Z
sin x dx = − cos x + c
x ∈ (−∞, ∞)
Z
cos x dx = sin x + c
x ∈ (−∞, ∞)
Z
1
(cos x)2
dx = tg x + c
x 6= (2k + 1)
π
2 , k ∈ Z
Z
1
(sin x)2
dx = −cotg x + c
x 6= kπ, k ∈ Z
Z
1
x2 + a2
dx =
1
a
arctg
x
a
+ c
x ∈ (−∞, ∞), a > 0
Z
1
√
a2 − x2
dx = arcsin
x
a
+ c
x ∈ (−a, a), a > 0