Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
x→0
x3
sin x − x
= lim
x→0
(x3)0
(sin x − x)0
= lim
x→0
3x2
cos x − 1
Znova m´
ame limitu typu
0
0
, pouˇ
zijeme l´Hospitalovo pravidlo.
lim
x→0
3x2
cos x − 1
= lim
x→0
(3x2)0
(cos x − 1)0
= lim
x→0
6x
− sin x
M´
ame limitu typu
0
0
, pouˇ
zijeme l´Hospitalovo pravidlo.
lim
x→0
6x
− sin x
= lim
x→0
(6x)0
(− sin x)0
= lim
x→0
6
− cos x
= −6.
d) Je to limita z neurˇ
cit´
eho v´
yrazu typu
0
0
, pouˇ
zijeme l´Hospitalovo pravidlo.
lim
x→0
sin πx
sin 4x
= lim
x→0
(sin πx)0
(sin 4x)0
= lim
x→0
π cos πx
4 cos 4x
=
π cos 0
4 cos 0
=
π
4
.
Pˇ
r´ıklad 1.5.2. Uˇ
zit´ım l´Hospitalova pravidla vypoˇ
ctˇ
ete limity funkc´ı:
a) lim
x→0
ln(cos x)
sin
2 x
b) lim
x→0
ex
2 − 1
cos x − 1
c) lim
x→1+
ln(x − 1)
tg
π
2 x
d) lim
x→0
ex − e−x
x
e) lim
x→
π
2
cos2 x
x −
π
2
f) lim
x→0
e2x − 1
ln(1 − 2x)
g)
lim
x→0
x − sin x
1 − cos x
h) lim
x→
π
4
1 − sin 2x
(4x − π)2
j) lim
x→1
xn − nx + n − 1
(x − 1)2
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
0
0
⇒ lim
x→0
ln(cos x)
sin
2 x
= lim
x→0
1
cos x (− sin x)
2 sin x cos x
= lim
x→0
−1
2 cos2 x
= −
1
2
.
b)
0
0
⇒
lim
x→0
ex
2 − 1
cos x − 1
= lim
x→0
ex
2
2x
− sin x
= lim
x→0
ex
2
2x2x + ex
2
2
− cos x
=
2
−1
= −2.
c) Typ
−∞
−∞
⇒ lim
x→1+
ln(x − 1)
tg
π
2 x
= lim
x→1+
1
x−1
1
cos2
π
2
x
π
2
= lim
x→1+
2 cos2
π
2 x
πx − π
=
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
21
= lim
x→1+
2 · 2 cos
π
2 x · sin
π
2 x ·
π
2
π
= 0.
d) 2;
e) 0;
f) −1;
g) 0;
h)
1
8 ;
j)
n(n − 1)
2
.
Pˇ
r´ıklad 1.5.3. Vypoˇ
ctˇ
ete limity z neurˇ
cit´
eho v´
yrazu typu ∞ − ∞:
a) lim
x→0+
1
x
−
1
ex − 1
b) lim
x→1+
2
x2 − 1
−
1
x − 1
c) lim
x→0+
1
x
−
1
sin x
d) lim
x→1+
x
x − 1
−
1
ln x
e) lim
x→0+
1
sin x
−
1
ex − 1
f) lim
x→3+
1
x − 3
−
5
x2 − x − 6
ˇ
Reˇsen´ı:
a) lim
x→0+