Jak Začít?

Máš v počítači zápisky z přednášek
nebo jiné materiály ze školy?

Nahraj je na studentino.cz a získej
4 Kč za každý materiál
a 50 Kč za registraci!




Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

PDF
Stáhnout kompletní materiál zdarma (501.86 kB)

Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.

x→0

x3

sin x − x

= lim

x→0

(x3)0

(sin x − x)0

= lim

x→0

3x2

cos x − 1

Znova m´

ame limitu typu

0

0

, pouˇ

zijeme l´Hospitalovo pravidlo.

lim

x→0

3x2

cos x − 1

= lim

x→0

(3x2)0

(cos x − 1)0

= lim

x→0

6x

− sin x

ame limitu typu

0

0

, pouˇ

zijeme l´Hospitalovo pravidlo.

lim

x→0

6x

− sin x

= lim

x→0

(6x)0

(− sin x)0

= lim

x→0

6

− cos x

= −6.

d) Je to limita z neurˇ

cit´

eho v´

yrazu typu

0

0

, pouˇ

zijeme l´Hospitalovo pravidlo.

lim

x→0

sin πx

sin 4x

= lim

x→0

(sin πx)0

(sin 4x)0

= lim

x→0

π cos πx

4 cos 4x

=

π cos 0

4 cos 0

=

π

4

.

r´ıklad 1.5.2. Uˇ

zit´ım l´Hospitalova pravidla vypoˇ

ctˇ

ete limity funkc´ı:

a) lim

x→0

ln(cos x)

sin

2 x

b) lim

x→0

ex

2 − 1

cos x − 1

c) lim

x→1+

ln(x − 1)

tg

π

2 x

d) lim

x→0

ex − e−x

x

e) lim

x→

π

2

cos2 x

x −

π

2

f) lim

x→0

e2x − 1

ln(1 − 2x)

g)

lim

x→0

x − sin x

1 − cos x

h) lim

x→

π

4

1 − sin 2x

(4x − π)2

j) lim

x→1

xn − nx + n − 1

(x − 1)2

ˇ

Reˇsen´ı:

a)

0

0

⇒ lim

x→0

ln(cos x)

sin

2 x

= lim

x→0

1

cos x (− sin x)

2 sin x cos x

= lim

x→0

−1

2 cos2 x

= −

1

2

.

b)

0

0

lim

x→0

ex

2 − 1

cos x − 1

= lim

x→0

ex

2

2x

− sin x

= lim

x→0

ex

2

2x2x + ex

2

2

− cos x

=

2

−1

= −2.

c) Typ

−∞
−∞

⇒ lim

x→1+

ln(x − 1)

tg

π

2 x

= lim

x→1+

1

x−1

1

cos2

π

2

x

π

2

= lim

x→1+

2 cos2

π

2 x

πx − π

=

MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´

uloh

21

= lim

x→1+

2 · 2 cos

π

2 x · sin

π

2 x ·

π

2

π

= 0.

d) 2;

e) 0;

f) −1;

g) 0;

h)

1
8 ;

j)

n(n − 1)

2

.

r´ıklad 1.5.3. Vypoˇ

ctˇ

ete limity z neurˇ

cit´

eho v´

yrazu typu ∞ − ∞:

a) lim

x→0+

 1

x

1

ex − 1

b) lim

x→1+

2

x2 − 1

1

x − 1

c) lim

x→0+

 1

x

1

sin x

d) lim

x→1+

x

x − 1

1

ln x

e) lim

x→0+

1

sin x

1

ex − 1

f) lim

x→3+

1

x − 3

5

x2 − x − 6

ˇ

Reˇsen´ı:

a) lim

x→0+

Témata, do kterých materiál patří