Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
f
00(x) = 24 x,
f
000(x) = 24.
b) f
0(x) = ex(x2 − 2) + ex 2x = ex(x2 + 2x − 2),
f 00(x) = ex(x2 + 2x − 2) + ex(2x + 2) = ex(x2 + 4x),
f 000(x) = ex(x2 + 4x) + ex(2x + 4) = = ex(x2 + 6x + 4).
c) f
0(x) = ex
2
2x,
f
00(x) = ex
2
2x 2x + e
x2 2 = ex
2
(4x
2 + 2),
f 000(x) = ex
2
2x (4x2 + 2) + ex
2
8x = ex
2
(8x3 + 12x).
e) f
0(x) =
1
3x + 2
· 3 = 3(3x + 2)
−1,
f
00(x) = −3(3x+2)−2 ·3 = −9(3x+2)−2,
f
000(x) = 18(3x + 2)−3 · 3 =
54
(3x + 2)3
.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
17
Pˇ
r´ıklad 1.4.7. Napiˇ
ste rovnici teˇ
cny ke grafu funkce f (x) v bodˇ
e T = [1, ? ], kde
a) f (x) =
2x − 5
x + 2
b) f (x) = x ln x
c) f (x) = 3x e1−x
2
d) f (x) =
r
5 − x
x
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Potˇrebujeme dosadit do rovnice y − f (x0) = f
0(x
0)(x − x0)
za
x0, f (x0), f
0(x
0).
Ze zad´
an´ı x0 = 1. Potom f (x0) = f (1) =
2·1−5
1+2
= −1.
Pro smˇ
ernici teˇ
cny potˇrebujeme vypoˇ
c´ıtat derivaci funkce.
f
0(x) =
2 · (x + 2) − (2x − 5) · 1
(x + 2)2
=
2x + 4 − 2x + 5
(x + 2)2
=
9
(x + 2)2
Po dosazen´ı dostaneme f 0(x0) = f
0(1) = 1.
Rovnice teˇ
cny bude t : y + 1 = 1(x − 1). Po ´
upravˇ
e t : x − y − 2 = 0.
b) x0 = 1, f (x0) = f (1) = 1 ln 1 = 0, f
0(x) = 1·ln x+x 1
x = ln x+1,
f 0(1) = 1
Po dosazen´ı do rovnice dostaneme t : y = x − 1.
c) x0 = 1,
f (x0) = 3 e
0 = 3,
f 0(x) = 3 · e1−x
2
+ 3x e1−x
2
(−2x) =
3 e1−x
2
(1−2x2), f 0(1) = 3 e0(1−2) = −3. Po dosazen´ı a ´
upravˇ
e t : 3x + y − 6 = 0.
d) f