Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
je konstanta. Je-li nav´ıc lim
x→a
g(x) 6= 0, existuje tak´
e limita funkce
f
g
v bodˇ
e a a plat´ı:
lim
x→a
(f (x) ± g(x)) = lim
x→a
f (x) ± lim
x→a
g(x),
lim
x→a
(f (x) · g(x)) = lim
x→a
f (x) · lim
x→a
g(x),
lim
x→a
(c · f (x)) = c · lim
x→a
f (x),
lim
x→a
f (x)
g(x)
=
limx→a f (x)
limx→a g(x)
.
Pro v´
ypoˇ
cet limit funkce se ˇ
casto pouˇ
z´ıv´
a tato vˇ
eta: Jestliˇ
ze pro dvˇ
e funkce f, g plat´ı,
ˇ
ze pro vˇsechna x 6= a z jist´
eho okol´ı bodu a je f (x) = g(x), potom lim
x→a
f (x) existuje,
pr´
avˇ
e kdyˇ
z existuje lim
x→a
g(x), a plat´ı lim
x→a
f (x) = lim
x→a
g(x).
M˚
uˇ
zeme pˇri poˇ
c´ıt´
an´ı limit funkce pouˇ
z´ıt i n´
asleduj´ıc´ı vztahy:
lim
x→0
sin x
x
= 1
lim
x→0
(1 + x)
1
x
= e,
lim
x→±∞
1 +
1
x
x
= e,
lim
x→±∞
1 +
k
x
x
= e
k
Necht’ jsou f (x) a g(x) dva plynomy, pˇriˇ
cemˇ
z a xn je ˇ
clen s nejvyˇsˇs´ı mocninou polynomu
f (x) a b xm je ˇ
clen s nejvyˇsˇs´ı mocninou v polynomu g(x). Potom
lim
x→±∞
f (x)
g(x)
= lim
x→±∞
a xn
b xm
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
11
Pˇ
r´ıklad 1.3.1. Urˇ
cete limity funkc´ı:
a) lim
x→1
(x
2 − 5)
b) lim
x→0
(6 − 3 cos x)
c) lim
x→−1
√
1 − 3x
d) lim
x→3
1
x − 2
ˇ
Reˇsen´ı:
Bod a, ve kter´
em poˇ
c´ıt´
ame limitu patˇr´ı do definiˇ
cn´ıho oboru funkce,
a proto limity poˇ
c´ıt´
ame pouh´
ym dosazen´ım.
a) lim
x→1
(x
2 − 5) = 12 − 5 = 4;
b) lim
x→0
(6 − 3 cos x) = 6 − 3 cos 0 = 6 − 3 · 1 = 3.
c)
lim
x→−1
√
1 − 3x =
p
1 − 3 · (−1) =
√
4 = 2;
d) lim
x→3
1
x − 2
=
1
3 − 2
= 1.
Pˇ
r´ıklad 1.3.2. Urˇ
cete limity n´
asleduj´ıc´ıch funkc´ı:
a) lim
x→2
x2 − 4
x − 2
b) lim
x→1
x6 − 1
x3 − 1
c) lim
x→−5
x2 + 4x − 5
x + 5