Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

f

−1 : y = 2 −

x

3

.

Plat´ı, ˇ

ze D(f −1) = H(f ) = R, H(f

−1) = D(f ) = R.

MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´

uloh

9

Pˇ

r´ıklad 1.2.3. Urˇ

cete inverzn´ı funkci k funkc´ım:

a) f : y = ln(4 − x)

b) g : y =

x + 3

x − 4

c) h : y = arcsin

 2x + 5

3

ˇ

Reˇsen´ı: a) Definiˇ

cn´ım oborem funkce f je ˇreˇsen´ı nerovnice 4 − x > 0. M´

ame

D(f ) = (−∞, 4) a H(f ) = R.
Funkce f je sloˇ

zen´

a ze dvou prost´

ych funkc´ı, logaritmick´

e a line´

arn´ı, je tedy

prost´

a funkce. Zamˇ

en´ıme x a y a z t´

eto nov´

e rovnice vyj´

adˇr´ıme y.

f

−1 : x = ln(4 − y)

Inverzn´ı funkce k logaritmick´

e funkci je exponenci´

aln´ı funkce. Aplikujeme tedy

exponenci´

aln´ı funkci na obˇ

e strany rovnice a dostaneme:

e

x = 4 − y,

e

x − 4 = −y,

−e

x + 4 = y

⇒ f

−1 : y = 4 − ex.

Plat´ı, ˇ

ze D(f −1) = R a H(f

−1) = D(f ) = (−∞, 4).

b) Aby byla funkce y =

x + 3

x − 4

definovan´

a, mus´ı b´

yt x 6= 4. M˚

uˇ

zeme tedy ps´

at,

ˇ

ze D(g) = (−∞, 4) ∪ (4, ∞).

Funkce g je line´

arn´ı lomen´

a funkce, a je proto prost´

a (grafem t´

eto funkce je

hyperbola).

Zamˇ

en´ıme v zad´

an´ı funkce x a y :

g

−1 : x =

y + 3

y − 4

⇒ x(y − 4) = y + 3 ⇒ xy − 4x = y + 3 ⇒

xy − y = 4x + 3

⇒ y(x − 1) = 4x + 3 ⇒ g

−1 : y =

4x + 3

x − 1

.

D(g−1) = (−∞, 1) ∪ (1, ∞) = H(g) a H(g−1) = D(g) = (−∞, 4) ∪ (4, ∞).

c) Aby byla funkce h : y = arcsin

 2x + 5

3

definovan´

a, mus´ı platit nerovnice:

−1 ≤

2x + 5

3

≤ 1 ⇒ −3 ≤ 2x + 5 ≤ 3 ⇒ −8 ≤ 2x ≤ −2 ⇒ x ∈ h−4, −1i.