Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

Funkce h je sloˇ

zen´

a ze dvou prost´

ych funkc´ı, arcsinus a line´

arn´ı, a proto je na

mnoˇ

zinˇ

e D(h) = h−4, −1i prost´

a. Inverzn´ı funkce k funkci arcsinus je funkce

sin x. Zamˇ

en´ıme v zad´

an´ı funkce x a y a na obˇ

e strany rovnice aplikujeme

funkci sinus:

h

−1 : x = arcsin

 2y + 5

3

⇒ sin x =

2y + 5

3

⇒ 3 sin x = 2y + 5 ⇒

2y = 3 sin x − 5

⇒ h

−1 : y =

3 sin x − 5

2

.

D(h−1) = h−

π

2 ,

π

2 i = H (h) a

H(h−1) = D(h) = h−4, −1i.

10

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

1.3

Limita funkce

Funkce jedn´

e promˇ

enn´

e f : y = f (x) m´

a v bodˇ

e a limitu L, jestliˇ

ze v pˇr´ıpadˇ

e, kdy se

hodnota x bl´ıˇ

z´ı k ˇ

c´ıslu a, funkˇ

cn´ı hodnoty f (x) se bl´ıˇ

z´ı k hodnotˇ

e (limitˇ

e) L.

Symbolicky pak p´ıˇseme: lim

x→a

f (x) = L. Podobnˇ

e m˚

uˇ

zeme definovat lim

x→a+

f (x) = A resp.

lim

x→a−

f (x) = B t´ım, ˇ

ze uvaˇ

zujeme pˇr´ıpad, kdy x se bl´ıˇ

z´ı k ˇ

c´ıslu a pouze zprava resp.

pouze zleva.
Funkce f m´

a v bodˇ

e a nejv´

yˇse jednu limitu. Pokud tedy m´

a existovat lim

x→a

f (x) = L,

mus´ı platit

lim

x→a+

f (x) = lim

x→a−

f (x) = L.

Pozn´

amka. Element´

arn´ı funkce f m´

a v kaˇ

zd´

em bodˇ

e sv´

eho definiˇ

cn´ıho oboru D(f )

limitu rovnou funkˇ

cn´ı hodnotˇ

e v tomto bodˇ

e. Zˇrejmˇ

e bude zaj´ımavˇ

ejˇs´ı poˇ

c´ıtat limity v

bodech, kter´

e nepatˇr´ı do D(f ), a v bodech ±∞.

Maj´ı-li funkce f, g v bodˇ

e a ∈ R koneˇcn´e limity, tj. existuj´ı-li limity lim

x→a

f (x) ∈ R a

lim

x→a

g(x) ∈ R, pak maj´ı v tomto bodˇe limity i funkce f + g, f − g, f g, cf, kde c ∈ R