Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)

≥ 0 ⇒

−

1
4

•

+

3

◦

−

⇒

D(f ) =

1
4 , 3

 .

Pozn´

amka. U tohoto pˇr´ıkladu jsme mohli vynechat druhou nerovnost. Pokud je splnˇ

eno,

ˇ

ze nˇ

ejak´

y v´

yraz je vˇ

etˇs´ı nebo se rovn´

a jedn´

e, je tento v´

yraz automaticky kladn´

y. Platnost

druh´

e nerovnosti tehdy plyne z platnosti t´

e tˇret´ı.

Pˇ

r´ıklad 1.1.3. Najdˇ

ete definiˇ

cn´ı obory funkc´ı obsahuj´ıc´ıch cyklometrick´

e funkce:

a) f : y = arcsin(3x − 2)

b) g : y = arccos(x − 4) + ln (9 − 2x)

c) h : y = arccos

x + 1

x − 3

d) k : y =

1

arcsin(1 + x)

ˇ

Reˇsen´ı:

a) Argument funkce f mus´ı b´

yt z intervalu h−1, 1i.

ˇ

Reˇs´ıme dvˇ

e nerovnice, kter´

e mus´ı platit z´

aroveˇ

n:

1. 3x − 2 ≥ −1 ⇒ 3x ≥ 1 ⇒ x ≥

1
3

1
3

•

2. 3x − 2 ≤ 1 ⇒ 3x ≤ 3 ⇒ x ≤ 1

1

•

D(f ) =

1
3 , 1

 .

6

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ

cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ

e

b) Funkce g obsahuje arccos i logaritmus. Proto:

1. x − 4 ≥ −1 ⇒ x ≥ 3

3

•

2. x − 4 ≤ 1 ⇒ x ≤ 5

5

•

3. 9 − 2x > 0 ⇒ 2x < 9

⇒ x < 9

2

9
2

•

Definiˇ

cn´ı obor funkce g je pr˚

unik tˇ

echto tˇri interval˚

u: D(g) =

3, 9

2

 .

c) Funkce h obsahuje zlomek i arccos. Mus´ı platit:

1. x − 3 6= 0 ⇒ x 6= 3

2.

x + 1

x − 3

≥ −1 ⇒

x + 1

x − 3

+ 1 ≥ 0 ⇒

2x − 2

x − 3

≥ 0

+

1

•

−

3

◦

+

2.

x + 1

x − 3

≤ 1 ⇒

x + 1

x − 3

− 1 ≤ 0 ⇒

4

x − 3

≤ 0

−

3

◦

+

Z toho D(h) = (−∞, 1i .

d) Funkce k obsahuje funkci arcsin a zlomek.

1. arcsin(1 + x) 6= 0 ⇒ 1 + x 6= 0 ⇒

x 6= −1

2. x + 1 ≥ −1 ⇒ x ≥ −2

−2

•

3. x+1 ≤ 1 ⇒ x ≤ 0