Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
√
x + 7 − 3
·
√
x + 2 + 2
√
x + 2 + 2
·
√
x + 7 + 3
√
x + 7 + 3
=
lim
x→2
(x + 2 − 4)
(x + 7 − 9)
·
√
x + 7 + 3
√
x + 2 + 2
= lim
x→2
(x − 2)
(x − 2)
·
√
x + 7 + 3
√
x + 2 + 2
=
3
2
.
Pˇ
r´ıklad 1.3.4. Vypoˇ
ctˇ
ete limity funkc´ı v nevlastn´ıch bodech:
a) lim
x→∞
5x3 + 2x + 6
4x2 − 9x + 3
b) lim
x→−∞
6x2 − 3x − 2
2x2 + 7x − 23
c) lim
x→∞
2x3 − 1
4x4 − 5x2 + 3
ˇ
Reˇsen´ı:
Poˇ
c´ıt´
ame limitu z pod´ılu dvou polynom˚
u. O limitˇ
e rozhoduj´ı nejvyˇsˇs´ı
mocniny ˇ
citatele i jmenovatele.
a) lim
x→∞
5x3 + 2x + 6
4x2 − 9x + 3
= lim
x→∞
5x3
4x2
= lim
x→∞
5x
4
= ∞.
b) lim
x→−∞
6x2 − 3x − 2
2x2 + 7x − 23
= lim
x→−∞
6x2
2x2
= lim
x→−∞
6
2
= 3.
c) lim
x→∞
2x3 − 1
4x4 − 5x2 + 3
= lim
x→∞
2x3
4x4
= lim
x→∞
1
2x
= 0.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
13
Pˇ
r´ıklad 1.3.5. Vypoˇ
ctˇ
ete limity funkc´ı:
a) lim
x→0
sin 9x
x
b) lim
x→0
sin x2
x
c) lim
x→∞
1 −
3
x
x
d) lim
x→∞
x + 7
x + 5
2x
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Budeme vyuˇ
z´ıvat vzorec lim
x→0
sin x
x
= 1. Potˇrebujeme ale nejdˇr´ıv
zajistit, aby v argumentu funkce sin byla stejn´
a funkce jako ve jmenovateli.
Proto lomen´
y v´
yraz rozˇs´ıˇr´ıme ˇ
c´ıslem 9.
lim
x→0
sin 9x
x
= lim
x→0
sin 9x
x
·
9
9
= lim
x→0
sin 9x
9x
· 9 = 1 · 9 = 9.
b) lim
x→0
sin x2
x
= lim
x→0
sin x2
x
·
x
x
= lim
x→0
sin x2
x2
· x = 1 · 0 = 0.
c) Budeme vyuˇ
z´ıvat vzorec lim
x→∞
1 +
k
x
x
= e
k .
lim
x→∞
1 −
3
x
x
= lim
x→∞
1 +
−3
x
x
= e
−3.
d) V´
yraz pˇrevedeme zase na vzorec lim
x→∞
1 +
k
x
x
= e
k . Upravujeme:
lim
x→∞
x + 7
x + 5
2x
= lim
x→∞
1 +
x + 7
x + 5
− 1
2x
= lim
x→∞
1 +
x + 7 − x − 5
x + 5
2x
=
lim