Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
π
2 , k ∈ Z
(cotg x)0 = −
1
(sin x)2
x 6= kπ, k ∈ Z
(arcsin x)0 =
1
√
1−x2
x ∈ (−1, 1)
(arccos x)0 = −
1
√
1−x2
x ∈ (−1, 1)
(arctg x)0 =
1
1+x2
x ∈ (−∞, ∞)
(arccotg x)0 = −
1
1+x2
x ∈ (−∞, ∞)
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
15
Vzorce pro derivaci souˇ
ctu, rozd´ılu, souˇ
cinu a pod´ılu funkce:
(u + v)
0 = u0 + v0
(u − v)
0 = u0 − v0
(uv)
0 = u0v + uv0
(cu)
0 = cu0, c ∈ R
u
v
0
=
u0v − uv0
v2
, v 6= 0
Vzorec pro derivaci sloˇ
zen´
e funkce: [f ◦ ϕ]0(x) = f 0(u)ϕ0(x),
kde
u = ϕ(x).
Pˇ
r´ıklad 1.4.1. Vypoˇ
ctˇ
ete v pˇ
r´ıpustn´
ych bodech derivace funkc´ı dan´
ych pˇ
redpisy:
a) y = 5 sin x − 6 ex + 3
b) y = 2 x3 −
3
√
x2
c) y = (x − 5) cos x
d) y =
1 − sin x
1 + sin x
ˇ
Reˇsen´ı:
a) y0 = 5 cos x − 6 ex;
b) y
0 = 6 x2 −
2
3
1
3
√
x
;
c) Pˇri derivov´
an´ı t´
eto funkce pouˇ
zijeme vzorec pro derivov´
an´ı souˇ
cinu.
y0 = (x − 5)0 cos x + (x − 5)(cos x)0 = cos x − (x − 5) sin x.
d) Pˇri derivov´
an´ı t´
eto funkce pouˇ
zijeme vzorec pro derivov´
an´ı pod´ılu.
y
0 =
(1 − sin x)0(1 + sin x) − (1 − sin x)(1 + sin x)0
(1 + sin x)2
=
=
− cos x − cos x sin x − cos x + sin x cos x
(1 + sin x)2
=
−2 cos x
(1 + sin x)2
.
Pˇ
r´ıklad 1.4.2. Vypoˇ
ctˇ
ete derivace funkc´ı v bodˇ
e x0 = −1:
a) y = πx
3 − 7x
b) y = e
x(x2 − 1)
c) y =
x + 5
x2
d) y =
x − 2
x + 2
ˇ
Reˇsen´ı:
a) y0 = 3πx2 − 7,
y0(−1) = 3π − 7;
b) y0 = ex (x2 + 2x − 1),
y
0(−1) = −
2
e
; c) y
0 = −
x + 10
x3
, y
0(−1) = −9; d) y0 =
4
(x + 2)2
, y
0(−1) = 4.