Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Pˇ
r´ıklad 1.4.3. Derivujte funkce:
a) y = 5 − 6 x3
b) y = 3
√
x (x2 −
1
2
√
x )
c) y = sin x cos x
d) y =
cos x
1 − sin x
ˇ
Reˇsen´ı:
a) y0 = −18x2;
b) y
0 = (x
7
3
−
1
2
x
− 1
6
)
0 =
7
3
3
√
x4 +
1
12
6
√
x7
;
c) y0 = cos2 x − sin
2 x = cos 2x;
d) y
0 =
1
1 − sin x
.
16
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
Pˇ
r´ıklad 1.4.4. Zderivujte sloˇ
zen´
e funkce y = sin 2x,
y = sin
2 x a y = sin2 2x.
ˇ
Reˇsen´ı:
Funkce y = sin 2x se d´
a zapsat jako y = sin ϕ, ϕ = 2x.
Potom y0 = (sin ϕ)0(2x)0 = cos ϕ · 2 = 2 cos 2x.
Podobnˇ
e funkce y = sin
2 x se d´a zapsat jako y = ϕ2, ϕ = sin x.
Potom y0 = (ϕ2)0(sin x)0 = 2ϕ · cos x = 2 sin x cos x = sin 2x.
Funkce y = sin
2 2x je dvakr´at sloˇzen´a: y = ϕ2, ϕ = sin ξ, ξ = 2x.
Potom y0 = (ϕ2)0(sin ξ)0(2x)0 = 2ϕ · cos ξ · 2 = 4 sin 2x cos 2x = 2 sin 4x.
Pˇ
r´ıklad 1.4.5. Vypoˇ
ctˇ
ete derivace funkc´ı:
a) y = ln(x2 − 8)
b) y = ex sin
2 x
c) y = esin x
d) y = cos ex
e) y = ln
x + 1
x − 1
ˇ
Reˇsen´ı:
a) y
0 =
1
x2 − 8
· (2x − 0) =
2x
x2 − 8
.
b) y
0 = ex sin2 x + ex2 sin x cos x = ex sin x (sin x + 2 cos x).
c) y
0 = esin x cos x.
d) y
0 = −ex sin ex.
e) y
0 =
1
x + 1
x − 1
(x − 1) − (x + 1)
(x − 1)2
=
x − 1
x + 1
·
−2
(x − 1)2
=
−2
(x − 1)(x + 1)
=
−2
x2 − 1
.
Pˇ
r´ıklad 1.4.6. Vypoˇ
ctˇ
ete f 000(x), kde:
a) f (x) = 4x3 − 5x + 2
b) y = ex(x2 − 2)
c) y = ex
2
d) y = ln(3x + 2)
ˇ
Reˇsen´ı:
a) f
0(x) = 12x2 − 5,