Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
d) lim
x→2
1
x −
1
2
x − 2
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Funkce f : y =
x2 − 4
x − 2
nen´ı v bodˇ
e x = 2 definov´
ana. M˚
uˇ
zeme
vˇsak v R − {2} prov´est ´upravu
f (x) =
x2 − 4
x − 2
=
(x − 2)(x + 2)
x − 2
= x + 2 = g(x).
Potom
lim
x→2
x2 − 4
x − 2
= lim
x→2
(x − 2)(x + 2)
x − 2
= lim
x→2
(x + 2) = 2 + 2 = 4.
b) Postupujeme podobnˇ
e jako v ˇ
c´
asti a).
lim
x→1
x6 − 1
x3 − 1
= lim
x→1
(x3 + 1)(x3 − 1)
x3 − 1
= lim
x→1
x
3 + 1 = 2.
c) lim
x→5
x2 + 4x − 5
x + 5
= lim
x→5
(x + 5)(x − 1)
x + 5
= lim
x→5
x − 1 = 4.
d) lim
x→2
1
x −
1
2
x − 2
= lim
x→2
2−x
2x
x − 2
= lim
x→2
−(x − 2)
(x − 2)2x
= lim
x→2
−
1
2x
= −
1
4
.
12
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
Pˇ
r´ıklad 1.3.3. Vypoˇ
ctˇ
ete limity funkc´ı:
a) lim
x→0
√
x3 + 1 − 1
x2
b) lim
x→3
x − 3
√
x + 1 − 2
c) lim
x→2
√
x + 2 − 2
√
x + 7 − 3
ˇ
Reˇsen´ı:
a) Chtˇ
eli bychom
”
nuly“ vykr´
atit stejnˇ
e, jako jsme to dˇ
elali v
pˇredchoz´ım pˇr´ıkladˇ
e. K tomu potˇrebujeme polynomy nam´ısto odmocnin. Proto
lomen´
y v´
yraz rozˇs´ıˇr´ıme v´
yrazem
√
x3 + 1 + 1.
lim
x→0
√
x3 + 1 − 1
x2
= lim
x→0
√
x3 + 1 − 1
x2
·
√
x3 + 1 + 1
√
x3 + 1 + 1
= lim
x→0
(x3 + 1) − 1
x2(
√
x3 + 1 + 1)
=
lim
x→0
x3
x2(
√
x3 + 1 + 1)
= lim
x→0
x
√
x3 + 1 + 1
=
0
2
= 0.
b) lim
x→3
x − 3
√
x + 1 − 2
= lim
x→3
x − 3
√
x + 1 − 2
·
√
x + 1 + 2
√
x + 1 + 2
=
lim
x→3
(x − 3)(
√
x + 1 + 2)
x + 1 − 4
= lim
x→3
√
x + 1 + 2 = 2 + 2 = 4.
c) lim
x→2
√
x + 2 − 2
√
x + 7 − 3
= lim
x→2
√
x + 2 − 2