Matematika 1B - sbírka - doc. Edita Kolářová (2010)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
u(x)
v(x). Ve vˇsech pˇr´ıpadech se
jedna o neurˇ
cit´
e v´
yrazy. Pˇri v´
ypoˇ
ctu limity nejdˇr´ıve uˇ
zijeme rovnosti
a
b = eln a
b
= e
b ln a, a > 0.
a) Jedna se o neurˇ
cit´
y v´
yraz typu 0
0. Upravujeme.
lim
x→0+
x
x = lim
x→0+
eln x
x
= lim
x→0+
ex ln x = e
lim
x→0+
x ln x
Spoˇ
c´ıt´
ame limitu z exponentu, kter´
a je typu 0 · ∞.
lim
x→0+
x ln x = lim
x→0+
ln x
1
x
= lim
x→0+
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
−x = 0 ⇒ lim
x→0+
x
x = e0 = 1.
b) Je to neurˇ
cit´
y v´
yraz typu 1
∞.
lim
x→0+
(cos 2x)
1
x2
= lim
x→0+
eln(cos 2x)
1
x2
= lim
x→0+
e
ln(cos 2x)
x2
= e
lim
x→0+
ln(cos 2x)
x2
=
e
lim
x→0+
1
cos 2x (− sin 2x)2
2x
= e
lim
x→0+
− sin 2x
x cos 2x = e
lim
x→0+
−2 cos 2x
cos 2x − 2x sin 2x = e−2.
MATEMATIKA 1B – Sb´ırka ´
uloh
23
c) Neurˇ
cit´
y v´
yraz typu 0
0.
lim
x→0+
x
3
4+ln x
= lim
x→0+
eln x
3
4+ln x
= e
lim
x→0+
3 ln x
4 + ln x = e
lim
x→0+
3
x
1
x
= e
3.
d) 1;
e) 1;
f) e2.
Pˇ
r´ıklad 1.5.6. Uˇ
zit´ım l´Hospitalova pravidla vypoˇ
ctˇ
ete limity funkc´ı:
a) lim
x→π
π − x
sin 5x
b) lim
x→∞
x
e
3
x
− 1
c) lim
x→∞
(ln x)2
x
d) lim
x→0+
(cos x)
1
x
e) lim
x→0+
(sin x)e
x−1
f) lim
x→0
1
1 − cos x
−
2
x2
ˇ
Reˇsen´ı:
a)
1
5
;
b) 3;
c) 0;
d) 1;
e) 1;
f)
1
6
.
24
Fakulta elektrotechniky a komunikaˇ
cn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇ
e
2
Integr´
aln´ı poˇ
cet funkce jedn´
e promˇ
enn´
e
2.1
Integraˇ
cn´ı metody
Primitivn´ı funkce k funkci f na intervalu (a, b) — funkce F : (a, b) → R, takov´a,
ˇ
ze F 0(x) = f (x) pro vˇsechna x ∈ (a, b).
Neurˇ
cit´
y integr´
al funkce f — jin´
y n´
azev pro primitivn´ı funkci. Znaˇ
c´ıme
R f (x) dx.
Pozn´
amka. Primitivn´ı funkce nen´ı urˇ
cena jednoznaˇ
cnˇ
e. Pˇriˇ
cteme-li k dan´
e primitivn´ı
funkci konstantu, dostaneme zase primitivn´ı funkci:
Z
f (x) dx = F (x) + C.