Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

y = 0, y =

√

3, y = −

√

3

e)

x2

4 −

y2

9 + z

2 = 1,

y = 0, y = 3, y = −3

f ) x4 + 4y2 + 4z2 = 4,

z = 0, z =

√

3, z = −

√

3.

Hyperboloidy s příslušnými řezy načrtněte.

5. Pro dané kuželové plochy najděte průsečnice s danými rovinami:

a) 3z2 = x2 + y2,

z = 1, x = 1

b)

3z2 = 4(x2 + y2),

z = 1, x = 2

c)

y2 = x2 + z2,

z = 1, x = 3

d) z2 =

x2

3 +

z2

3 ,

z − 1, y = 2

358

Dodatek: Geometrie

Plochy s příslušnými řezy načrtněte.

6. Najděte (a načrtněte) průsečnice plochy z = xy s rovinami:

a)

x = 2

b)

y = 2

c)

z = 2

e)

y = x

f ) y = −x.

7. Najděte translaci, která posune počátek souřadnic tak, aby dané kuželosečky byly

v kanonickém tvaru. Zjistěte, o jaký typ kuželosečky se jedná a uveďte její rovnici
v nových souřadnicích:

a)

9x2 + 4y2 − 36x − 24y + 36 = 0

b)

x2 − 16y2 + 8x + 128y = 256

c)

y2 − 8x − 14y + 49 = 0

d)

x2 + y2 + 6x − 10y + 18 = 0

e)

2x2 − 3y2 + 6x + 20y = −41

f )

x2 + 10x + 7y = −32

8. Vyšetřete následující degenerované resp. imaginární kuželosečky a kde je to možné

načrtněte graf:

a)

x2 − y2 = 0

b)

x2 + 3y2 + 7 = 0

c)

8x2 + 7y2 = 0

d)

x2 − 2xy + y2 = 0

e)

9x2 + 12xy + 4y2 − 52 = 0 f )

x2 + y2 − 2x − 4y = −5

9. Najděte matice následujících kvadrik a matice příslušných kvadratických forem.

Každou kvadriku vyjádřete ve tvaru

x

T Ax + bT x + c = 0 :

a) x2 + 2y2 − y2 + 4xy − 5yz + 7x + 2z = 3 , b) xy + xz + yz = 1

c) 3x2 + 7z2 + 2xy − 3xy + 4yz − 3x = 4

d) x2 + y2 − z2 = 7