Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
válcové plochy
Obr. 7.5:
Válcové plochy jsou přímkové, tj. jsou „vyplněnyÿ přímkami. V našich případech šlo vždy
o přímky rovnoběžné s osou z – v rovnici kvadriky se proměnná z nevyskytovala.
Zbývající případy kvadrik jsou počátek souřadné soustavy resp. osa z
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 0
resp.
x2
a2
+
y2
b2
= 0
a imaginární plochy:
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= −1
x2
a2
+
y2
b2
= −1
x2
a2
= −1
Opět jsme uvedli některé případy jednotlivých typů kvadrik; stejné typy dostaneme
záměnou proměnných x a y, x a z resp. y a z.
7.3 Kvadratické útvary v bodových prostorech
357
Cvičení
1. Je dán elipsoid
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1, a > 0, b > 0, c > 0.
Najděte
a) body, ve kterých protne souřadné osy
b) křivky, ve kterých protne souřadné roviny
c) křivky, ve kterých protne roviny x = c, y = c, z = c a uveďte podmínky na
konstanty c, za kterých jsou tyto křivky reálné.
2. Pro dané elipsoidy najděte průsečíky se souřadnými osami a průsečnice s rovinami
z = 0 a z = 2:
a) x2 +
y2
4 +
z2
9 = 1
b) 9x2 + 9y2 + z2 = 9
Elipsoidy s příslušnými řezy načrtněte.
3. Je dán jednodílný resp. dvojdílný hyperboloid (a > 0, b > 0, c > 0)
x2
a2
+
y2
b2
−
z2
c2
= 1,
resp
x2
a2
−
y2
b2
−
z2
c2
= 1.
Najděte
a) body, ve kterých protne souřadné osy
b) křivky, ve kterých protne souřadné roviny
c) křivky, ve kterých protne roviny x = c, y = c, z = c a uveďte podmínky na
konstanty c, za kterých jsou tyto křivky reálné.
4. Pro dané hyperboloidy najděte průsečíky se souřadnými osami a průsečnice s danými
rovinami:
a)
−x2 + y2 − z2 = 1,
x = 0
b)
−x2 + 4y2 + 9z2 = 36,
x = 8
c)
− x
2
4 + y
2 + z
2
9 = 1,
z = 3
d)
x2 − y2 + z2 = 1,