Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

0 0 −1

·

1

1 0

1

−1

1 0

1

1

1 0 −1

−1 −1 2 −1

=

=

4 −4 0

0

0

2 2

0

−2

0 0 −2

−2

0 2

0

·

1

1 0

1

−1

1 0

1

1

1 0 −1

−1 −1 2 −1

=

8 0

0

0

0 4

0

0

0 0 −4

0

0 0

0 −4

tedy matice transformované kvadratické formy je diagonální a kvadratická forma má po
transformaci tvar

8y

2

1 + 4y

2

2 − 4y

2

3 − 4y

2

4 .

Definice 7.21. Vyjádření kvadratické formy vzhledem k takové bázi prostoru R

n, kdy

její matice je diagonální, se nazývá kanonický tvar kvadratické formy.

Věta 7.22. Ke každé kvadratické formě f s maticí o hodnosti ≥ 1 na prostoru R

n existuje

báze, vzhledem k níž je matice koeficientů formy f diagonální, tj. forma má kanonický
tvar

f (x) = a1x

2
1 + a2x

2
2 + · · · + anx

2
n.

Problém, jak najít takovou transformaci, která převádí danou kvadratickou formu na

kanonický tvar, souvisí s dalšími vlastnostmi matic – speciálně s tzv. vlastními čísly a
vlastními vektory matic, které jsme v Lineární algebře neuváděli, a proto tento problém
vyšetřovat nebudeme.

Kvadratické útvary

Příklady kvadratických útvarů v rovině jsou vám známé kuželosečky; v této kapitole
pojem zobecníme na tzv. kvadriky v trojrozměrném prostoru a nadkvadriky v prostorech
vyšších dimenzí.

350

Dodatek: Geometrie

Definice 7.23. Nechť En je eukleidovský prostor s kanonickou bází, Vn jeho zaměření.
Buď f (x) kvadratická forma na Vn s maticí koeficientů A (vzhledem ke kanonické bázi),
g(x) lineární forma na Vn s vektorem souřadnic b,
c ∈ R.

Potom množina bodů X ∈ En, X = [x1, ..., xn] , pro jejichž souřadnice platí

f (x) + g(x) + c = 0,

kde x je polohový vektor bodu X, se nazývá nadkvadrika .

Maticově:

 x

1

· · · xn

 ·

a11 · · · a1n

..

.

. ..