Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

n, x ∈ V, x = x

1a1 +

· · · + xnan, f : R

n → R

kvadratická forma a A matice jejích koeficientů vzhledem k bázi A, potom

f (x) =

 x

1

· · · xn

 · A ·

x1

..

.

xn

= x

T · A · x

je analytické (maticové) vyjádření kvadratické formy.

Příklad 7.18. Je dána kvadratická forma f (x) = 7x2

1 − 6x1x2 + 8x

2
2 + 5x

2
3 − 2x1x3 + 6x2x3,

máme určit její matici.

Řešení.

f (x) = 7x1x1 − 3x1x2 − 3x2x1 + 8x2x2 + 5x3x3 − x1x3 − x3x1 + 3x2x3 + 3x3x2 =

=

 x

1

x2 x3

 ·

7 −3 −1

−3

8

3

−1

3

5

·

x1
x2
x3

,

tedy

A =

7 −3 −1

−3

8

3

−1

3

5

.

Všimněme si, že v hlavní diagonále matice kvadratické formy jsou koeficienty u druhých

mocnin, mimo hlavní diagonálu vždy polovina koeficientu u příslušného součinu.

Příklad 7.19. Máme najít kvadratickou formu, která má matici

A =

−5

1

0

1

7 −2

0 −2

3

.

Řešení. Podle poznámky na konci předchozího příkladu snadno určíme, že

f (x) = −5x

2
1 + 2x1x2 + 7x

2
2 − 4x2x3 + 3x

2
3.

Příklad 7.20. Transformujme kvadratickou formu 3x2

1−x

2
4−4x1x2+2x1x3−2x1x4+2x2x3

pomocí transformace

x1 =

y1 + y2

+ y4

x2 = −y1 + y2

+ y4

x3 =

y1 + y2

− y4

x4 = −y1 − y2 + 2y3 − y4

.

7.3 Kvadratické útvary v bodových prostorech

349

Řešení. Zadaná transformace má tvar x = P · y, kde

P =

1

1 0

1

−1

1 0

1

1

1 0 −1

−1 −1 2 −1

.

Nejdříve si uvědomme, že transformace zadává staré proměnné pomocí nových; máme

x = P · y, x

T = yT · PT , f(x) = xT · A · x ⇒

g(y) = f (P · x) = y

T · PT · A · P · y = yT · B · y;

tedy

B = P

T · A · P =

1 −1

1 −1

1

1

1 −1

0

0

0

2

1

1 −1 −1

·

0 −2 1 −1

−2

3 1

0

1

1 0

0

−1