Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
353
Příklad 7.27. Množina bodů v E3:
M = {[x, y, z] | xy − z = 0 }
je kvadrika, která je singulární a není středová.
Zde je
A =
0
1
2
0
1
2
0 0
0
0 0
, b = (0, 0, −1), c = 0.
Je to tzv. hyperbolický paraboloid.
Obr. 7.2: z = xy
Kvadratickou formu s maticí
A =
0
1
2
0
1
2
0 0
0
0 0
můžeme také převést na kanonický tvar pomocí transformace
x
y
z
=
1/
√
2 −1/
√
2 0
1/
√
2
1/
√
2 0
0
0 1
x0
y0
z0
a transformační rovnice mají následující tvar:
x =
1
√
2
(x0 − y0)
y =
1
√
2
(x0 + y0)
z = z0
a to je otočení kolem osy z o úhel π/4.
Po transformaci má kvadrika tvar x02 − y02 = z0.
Otočení souřadné soustavy, kterým dosáhneme toho, aby nové osy ležely v hlavních
osách nadkvadriky, obecně najít neumíme – je k tomu opět třeba znát tzv. vlastní čísla a
vlastní vektory matice příslušné kvadratické formy. Posunutí počátku do středu středové
nadkvadriky můžeme provést doplněním na čtverce.
V závěru kapitoly uvádíme přehled kanonických tvarů rovnic kvadrik – kvadratických
útvarů v prostoru.
354
Dodatek: Geometrie
Shrnutí
Kanonické tvary nedegenerovaných kuželoseček
Obr. 7.3:
Kanonické tvary degenerovaných kuželoseček
x2
a2 +
y2
b2 = −1
∅
x2 + a2 = 0
y2 + a2 = 0
∅
x2
a2 +
y2
b2 = 0
bod
x2
a2 −
y2
b2 = 0
dvě různoběžné přímky
x2 − a2 = 0
y2 − a2 = 0
dvě rovnoběžné přímky
x2 = 0
y2 = 0
dvě splývající přímky
7.3 Kvadratické útvary v bodových prostorech
355
Kanonické tvary nedegenerovaných kvadrik
Obr. 7.4:
Elipsoid a hyperboloidy jsou středové kvadriky, paraboloidy jsou kvadriky nestředové.
Uvedli jsme zde jen některé případy jednotlivých typů kvadrik; stejné typy dostaneme
záměnou proměnných x a y, x a z resp. y a z.
356
Dodatek: Geometrie
Kanonické tvary reálných degenerovaných kvadrik –