Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

f (x, y) =

 x

1

· · · xn

 ·

β11 · · · β1n

..

.

. ..

..

.

βn1 · · · βnn

·

y1

..

.

yn

.

7.3 Kvadratické útvary v bodových prostorech

347

Matice B =

β11 · · · β1n

..

.

. ..

..

.

βn1 · · · βnn

se nazývá matice souřadnic bilineární formy vzhledem

k bázi A, stručně matice bilineární formy.
Je-li matice B bilineární formy b symetrická, řekneme, že b je symetrická bilineární
forma.

Je-li A0 = (a01, a

0

2, ..., a

0

n) jiná báze prostoru

R

n,

f (x, y) =

 x

1

· · · xn

 · B ·

y1

..

.

yn

v bázi A, f (x, y) =

 x0

1

· · · x0

n

 · B0 ·

y0

1

..

.

y0

n

v bázi A0, P matice přechodu,která vyjadřuje nové proměnné pomocí starých,

y0

1

..

.

y0

n

= P ·

y1

..

.

yn

,

 x0

1

· · · x0

n

 =  x

1

· · · xn

 · PT ,

potom

f (x, y) =

 x

1

· · · xn

 · PT · B0 · P ·

y1

..

.

yn

,

tedy B = PT · B0 · P.

Více si všimneme následujícího speciálního případu:

Kvadratické formy

Definice 7.17. Kvadratická forma na R

n je zobrazení f : Rn → R takové, že existuje

bilineární forma b : R

n × Rn → R, pro kterou platí f(x) = b(x, x) ∀x ∈ Rn.

Poznámka: Každá kvadratická forma je určena právě jednou symetrickou bilineární for-
mou:

b(x + y, x + y) = b(x, x + y) + b(y, x + y) = b(x, x) + b(x, y) + b(y, x) + b(y, y)

ale b je symetrická, tedy

b(x + y, x + y) = b(x, x) + 2b(x, y) + b(y, y)

a odtud plyne, že

b(x, y) =

1

2

(b(x + y, x + y) − b(x, x) − b(y, y)) =

1

2

(f (x + y) − f (x) − f (y)) .

348

Dodatek: Geometrie

Matice kvadratické formy je matice příslušné bilineární formy, kterou je kvadra-

tická forma určena.

Je-li A = (a1, a2, ..., an) báze prostoru R