Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
P =
"
2
√
5
− 1
√
5
1
√
5
2
√
5
#
,
tedy
x
y
=
"
2
√
5
− 1
√
5
1
√
5
2
√
5
#
x0
y0
.
Transformační rovnice mají tvar
x =
2
√
5
x0 −
1
√
5
y0
y =
1
√
5
x0 +
2
√
5
y0
Jedná se o ortogonální transformaci v rovině –
tedy o otočení.
V nových souřadnicích má kuželosečka rovnici
4x
02 + 9y02 − 36 = 0 ⇔
x02
9
+
y02
4
= 1
a to je elipsa.
Obr. 7.1: Otočení elipsy
352
Dodatek: Geometrie
Jestliže v rovnici středové kuželosečky vystupují lineární členy, provedeme po otočení
ještě posunutí počátku doplněním na úplné čtverce a tím najdeme souřadnice středu
kuželosečky, tak jak to znáte ze střední školy.
Příklad 7.26. Máme převést rovnici kuželosečky
4x
2 + 9y2 − 8x − 36y + 4 = 0
na kanonický tvar.
Řešení. Pro posunutí počátku nejdříve předchozí rovnici doplníme na úplné čtverce:
4(x
2 − 2x) + 9(y2 − 4y) + 4 = 0
⇔
4(x
2 − 2x + 1) + 9(y2 − 4y + 4) = −4 + 4 + 36
tedy
4(x − 1)
2 + 9(y − 2)2 = 36
Jestliže posuneme počátek pomocí transformace
x
0 = x − 1,
y
0 = y − 2,
neboli
x0
y0
=
x
y
−
1
2
,
dostaneme závěrem rovnici elipsy
x0
2
9
+
y0
2
4
= 1.
Nejdůležitější kuželosečky jsou elipsy (kružnice), hyperboly a paraboly; tyto kuželo-
sečky se nazývají nedegenerované. Ve shrnutí na závěr kapitoly je přehled kanonických
tvarů kuželoseček.
Kvadratické útvary v E3 – kvadriky
Nechť n = 3,
X = [x, y, z],
x = (x, y, z),
A =
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
,
b = (b1, b2, b3).
Množina bodů vyhovujících rovnici
x y z ·
a11 a12 a13
a12 a22 a23
a13 a23 a33
·
x
y
z
+
b
1
b2 b3
·
x
y
z
+ c = 0
neboli (analytický tvar)
a11x
2 + a
22y
2 + a
33z
2 + 2a
12xy + 2a13xz + 2a23yz + b1x + b2y + b3z + c = 0
je kvadrika.
7.3 Kvadratické útvary v bodových prostorech