Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

..

.

a1n · · · ann

·

x1

..

.
xn

+

 b

1

· · · bn

 ·

x1

..

.
xn

+ c = 0.

Matice

M =

a11 · · · a1n b1

..

.

. ..

..

.

..

.

a1n · · · ann bn

b1

· · ·

bn

c

se nazývá matice nadkvadriky .

Je-li |M| 6= 0 říkáme, že příslušná nadkvadrika je regulární , v opačném případě říkáme,
že je singulární .

Je-li |A| 6= 0 je nadkvadrika středová .

Řekneme, že nadkvadrika má kanonický tvar, jestliže A je diagonální matice; tedy má-li
příslušná kvadratická forma f (x) kanonický tvar.

Kvadratické útvary v E2 – kuželosečky

Nechť n = 2,

X = [x, y],

x = (x, y),

A =

 a

11

a12

a12 a22

,

b = (b1, b2).

Množina bodů vyhovujících rovnici

 x y  ·

 a

11

a12

a12 a22

·

 x

y

+

 b

1

b2

 ·

 x

y

+ c = 0

neboli (analytický tvar)

a11x

2 + 2a

12xy + a22y

2 + b

1x + b2y + c = 0

je kuželosečka.

7.3 Kvadratické útvary v bodových prostorech

351

Příklad 7.24. Množina bodů v E2:

M = {[x, y] | x

2 + y2 − 1 = 0 }

je, jak známo, kružnice, tedy kuželosečka v kanonickém tvaru, která je regulární a středová.
Zde je

A =

 1 0

0 1

, b = o, c = −1.

Kuželosečky, které nemají kanonický tvar, se snažíme, pokud to je možné, na kanonický
tvar převést – to se děje pomocí transformace souřadnic. Situaci popíšeme na příkladu:

Příklad 7.25. Máme vyšetřit kuželosečku o rovnici

5x

2 − 4xy + 8y2 − 36 = 0,

neboli

 x y 

5 −2

−2

8

  x

y

− 36 = 0.

Řešení. Zde je

B =

5 −2

0

−2

8

0

0

0 −36

,

A =

5 −2

−2

8

,

kuželosečka je regulární a středová.

Metodami, které přesahují náplň tohoto textu (pomocí vlastních čísel a vlastních vektorů
matice kvadratické formy kuželosečky), se dá najít transformace převádějící kuželosečku
na kanonický tvar. V tomto případě se jedná o transformaci, která má matici