Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

f (x) = f (x, y, z) =

 a b c 

x

y
z

.

346

Dodatek: Geometrie

Příklad 7.15. Lineární forma f : R

2 → R má v bázi

U = (u1, u2) : u1 = (1, 1), u2 = (1, −1)

analytické vyjádření

fU (x) = x1 + 2x2.

Najděte její vyjádření

1)

v kanonické bázi

2)

v bázi V = (v1, v2) : v1 = (1, −2), v2 = (3, 2).

Řešení.

1. Vektor souřadnic lineární formy vzhledem k bázi U má tvar aU = (1, 2),

kanonická báze B = (e1, e2) je tvaru e1 = (1, 0), e2 = (0, 1), matice přechodu mezi

bází U a kanonickou bází je tvaru P =

 1

1

1 −1

. Označíme-li vektor souřadnic

dané lineární formy vzhledem ke kanonické bázi jako aB = (a, b), platí aU = P

T · a

B ,

neboli

 1

1

1 −1

·

 a

b

=

 1

2

⇒ aB = (a, b) = 1

2 (3, −1),

tedy fB(x) =

3
2 x1 −

1
2 x2.

2. Matice přechodu mezi kanonickou bází a bází V má tvar P0 =

1 3

−2 2

,

aV = aB · P

0:

aV = 1

2 (3, −1) ·

1 3

−2 2

= 1

2 (5, 7),

tedy fV (x) =

5
2 x1 +

7
2 x2.

Bilineární formy

Nyní budeme definovat jisté zobecnění lineární formy – jakousi „lineární formu dvou
proměnnýchÿ. Tento pojem nebudeme studovat příliš podrobně; je to pro nás jen pomocný
pojem sloužící definici kvadratické formy, kterou uvedeme v zápětí.

Definice 7.16. Zobrazení f : R

n × Rn → R se nazývá bilineární forma, jestliže je

lineární na obou místech, tedy jestliže
∀y ∈ R

n, x 7→ f (x, y) je lineární forma a

∀x ∈ R

n, y 7→ f (x, y) je lineární forma.

Je-li A = (a1, a2, ..., an) báze prostoru R

n, x, y ∈ Rn, x =

n

P

i=1

xiai,

y =

n

P

j=1

yjaj, je

f (x, y) =

X

i,j

xiyjf (ai, aj) =

X

i,j

βijxiyj

– analytické vyjádření bilineární formy. Maticově: