Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

4. Jaké typy rovnic přímky v prostoru znáte a jaký je mezi nimi vztah?

5. Jaké tvary rovnic roviny v prostoru znáte a jaký je mezi nimi vztah?

6. Jaká může být vzájemná poloha

a) dvou přímek

b) přímky a roviny

c) dvou rovin

a jak ji vyšetřujeme?

7. Jak zjišťujeme vzdálenost bodu

a) od jiného bodu

b) od přímky

c) od roviny?

8. Jak zjistíme úhel

a) dvou přímek

b) přímky a roviny

c) dvou rovin?

9. Ukažte, že obsah rovnoběžníku, jehož tři vrcholy leží v bodech A, B, C, je roven

k(B − A) × (C − A)k.

10. Ukažte, že obsah rovnoběžníku s vrcholy [0, 0], [a1, a2], [b1, b2], [a1 + b1, a2 + b2] je

roven |

a1 a2
b1 b2

|.

11. Ukažte, že objem rovnoběžnostěnu, jehož čtyři vrcholy leží v bodech A, B, C, D, je

roven |(B − A) · ((C − A) × (D − A))|.

12. Ukažte, že objem rovnoběžnostěnu, jehož čtyři vrcholy leží v bodech [0, 0, 0], [a1, a2, a3],

[b1, b2, b3], [c1, c2, c3] je roven |

a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3

|.

13. Jak zjistíme, zda čtyři body

A1 = [x1, y1, z1], A2 = [x2, y2, z2], A3 = [x3, y3, z3], A4 = [x4, y4, z4]

leží v jedné rovině? (Návod: využijte předchozí příklad)

14. Ukažte, že vzdálenost d bodu D od roviny určené body A, B, C můžeme vypočítat

pomocí vztahu

d =

(D − A) · ((B − A) × (C − A))

k(B − A) × (C − A)k

.

15. Kolik jednotkových vektorů je rovnoběžných s rovinou ax + by + cz + d = 0 ? Jak

můžeme najít jeden z nich?

342

Dodatek: Geometrie

16. Kolik jednotkových vektorů je rovnoběžných s přímkou

x = x0 + u1t
y = y0 + u2t
z = z0 + u3t

? Jak můžeme

najít jeden z nich?

Cvičení

1. Najděte rovnici přímky procházející daným bodem