Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Tento vektor se nazývá normálový vektor roviny.

Předchozí úpravou jsme dostali tzv. obecnou rovnici roviny v prostoru, která má tvar

ax + by + cz + d = 0,

kde

a = u3v2 − u2v3, b = u1v3 − u3v1, c = u2v1 − u1v2.

Přitom obecná rovnice roviny procházející bodem A = [a1, a2, a3] má zřejmě tvar

a(x − a1) + b(y − a2) + c(z − a3) = 0,

přičemž n = (a, b, c) je její normálový vektor.

Poznamenejme, že množina bodů v prostoru tvaru

ρ = { [x, y, z] | ax + by + cz = −d }

je taková podmnožina prostoru, pro jejíž body nabývá lineární forma

ax + by + cz =

 a b c 

x
y

z

hodnoty −d.

Obecnou rovnici roviny určené třemi body můžeme zřejmě najít pomocí vztahu

((B − A) × (C − A)) · (X − A) = 0

⇔

x − a1

y − a2

z − a3

b1 − a1 b2 − a2 b3 − a3
c1 − a1 c2 − a2 c3 − a3

= 0.

Příklad 7.10. Máme najít rovnici roviny, která prochází bodem A = [4, 2, 1] a

a) je rovnoběžná s rovinou x − 2y + 4z = 0,

b) je kolmá na rovinu x − y + 2z − 4 = 0 a obsahuje bod B = [5, 4, 2].

7.2 Lineární útvary v bodových prostorech

339

Řešení.

a) Rovina rovnoběžná s danou rovinou má stejný normálový vektor; pro její

rovnici tedy dostáváme

(x − 4) − 2(y − 2) + 4(z − 1) = 0

⇒

x − 2y + 4z − 4 = 0.

b) Rovnice roviny procházející bodem A má tvar a(x − 4) + b(y − 2) + c(z − 1) = 0,

přitom n = (a, b, c) má být kolmý na normálový vektor roviny x − y + 2z − 4 = 0;
tedy musí platit

(a, b, c) · (1, −1, 2) = 0

⇒

a − b + 2c = 0.