Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

7.2 Lineární útvary v bodových prostorech

333

Cvičení

1. V E3 určete ka × bk, je-li a = −3i + 4j + k, b = −2j + k.

2. V E3 vypočítejte

(a) ka × bk, je-li kak = 1, kbk = 5 a a · b = −3

(b) b · c, je-li a · b = 0 a a × c = o, a 6= o

3. V E3 zjednodušte

a)

i × (i + j + k) + (j + k) × (i − 2j)

b)

(2i + k) × (i − 3j + 2k)

4. V E3 určete vektor x , který je ortogonální k vektorům a = (6, 3, 0) a b = (1, 7, 2)

a pro který platí x · c = 6, kde c = (4, −4, −2).

7.2

Lineární útvary v bodových prostorech

K popisu přímek a rovin v bodových prostorech a jejich zobecnění – tzv. nadrovin –
použijeme pojmů podprostor; přitom dostaneme jejich obvyklé označení, tj. vyjádření
pomocí rovnic:

Definice 7.6. Nechť A ∈ E je libovolný bod, V0 v V.
Množina E0 = {A + u|u ∈ V0} se nazývá podprostor bodového prostoru E.
Podprostor E0 je sám bodový prostor se zaměřením V0.

PŘÍMKA je podprostor dimenze 1:

Je-li u ∈ V, A ∈ E, pak množina

{X|X = A + tu, t ∈ R}

je přímka určená bodem a vektorem; rovnici

X = A + tu, t ∈ R

nazýváme parametrickou rovnicí přímky .
Vektor u se nazývá směrový vektor této přímky.

Je-li u = B − A, říkáme, že přímka o rovnici

X = A + t(B − A), t ∈ R

je určena dvěma body.

334

Dodatek: Geometrie

ROVINA je podprostor dimenze 2:

Je-li V = hu, vi, A ∈ E, pak množina

{X|X = A + t1u + t2v, t1, t2 ∈ R}

je rovina určená bodem a dvěma vektory;

rovnici

X = A + t1u + t2v, t1, t2 ∈ R

nazýváme parametrickou rovnicí roviny.