Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

• sférické souřadnice:

Φ(r, ϕ, ϑ) = (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ); přitom

platí

Z

A

f (x, y) dx dy =

Z

Φ−1(A)

f (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ) r

2 sin ϑ dr dϕ dϑ;

6.2 Transformace integrálů

327

Cvičení

1. Pomocí transformace do polárních souřadnic vypočítejte

R

A

f (x, y) dx dy pro dané

funkce f na množinách A, které jsou popsány danými nerovnostmi:

a) f (x, y) = 1 − 2x − 3y,

A : x2 + y2 ≤ 2,

b) f (x, y) = x2 + y2,

A : x2 + y2 ≤ a2, x ≥ 0, y ≥ 0,

c)

f (x, y) =

pa2 − x2 − y2, A : x2 + y2 ≤ ax,

d) f (x, y) =

r

1 − x2 − y2
1 + x2 + y2

,

A : x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0,

e)

f (x, y) =

ln(x2 + y2)

x2 + y2

,

A : 1 ≤ x2 + y2 ≤ e,

f)

f (x, y) = sin

px2 + y2,

A : π2 ≤ x2 + y2 ≤ 4π2,

g) f (x, y) = arctg

y
x ,

A : 1 ≤ x2 + y2 ≤ 9, y ≤ x

√

3, y ≥

x

√

3

.

2. Pomocí transformace do polárních souřadnic vypočítejte obsah částí roviny, které

jsou ohraničené danými křivkami:

a)

(x − a)2 + y2 = a2, x2 + (y − a)2 = a2,

b) (x2 + y2)2 = 2xy,

c)

(x2 + y2)2 = 2x3.

3. Pomocí transformace do cylindrických souřadnic vypočítejte

R

A

f (x, y, z) dx dy dz pro

dané funkce f na množinách A, které jsou popsány danými nerovnostmi resp. ohra-
ničené danými plochami:

a) f (x, y, z) = 1,

A : x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, 0 ≤ z ≤ 6,

b) f (x, y, z) = z

px2 + y2, A : y = 0, z = 0, z = 2, x2 + y2 = 2y,

c)

f (x, y, z) = x2 + y2,

A : x2 + y2 = 2z, z = 2.