Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
6.2 Transformace integrálů
321
Příklad 6.21. Pomocí transformace do cylindrických souřadnic vypočteme trojné inte-
grály z daných funkcí f přes dané množiny M :
a) f (x, y, z) = x2 + y2,
M ohraničená plochami 2z = x2 + y2, z = 2,
b) f (x, y, z) = z
px2 + y2, M ohraničená plochami z = 0, z = 1, x2 + y2 = 2x,
c)
f (x, y, z) = z,
M ohraničená plochami (z − 1)2 = x2 + y2,
z = 0.
Řešení.
a) Množina M je ohraničená rotačním paraboloidem a rovinou,
M =
(x, y, z) |
1
2
(x
2 + y2) ≤ z ≤ 2
.
V cylindrických souřadnicích dostaneme
1
2
(x
2 + y2) ≤ z ≤ 2 ⇒
1
2
ρ
2 ≤ z ≤ 2,
přitom musí platit
1
2
ρ
2 ≤ 2
a na ϕ nevyšla žádná podmínka.
Proto
Φ
−1(M) = { (ρ, ϕ, z) |
0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ ϕ ≤ 2π,
1
2
ρ
2 ≤ z ≤ 2
.
Obr. 6.21:
Pro zadaný integrál platí:
Z
M
(x
2 + y2) dx dy dz =
Z
Φ−1(M )
ρ
2ρ dρ dϕ dz =
Z
2π
0
dϕ
Z
2
0
dρ
Z
2
1
2
ρ2
ρ
3 dz =
= 2π
Z
2
0
ρ
3 [ z ]2
1
2
ρ2 dρ = 2π
Z
2
0
ρ
3(2 −
1
2
ρ
2) dρ = 2π
1
2
ρ
4 −
1
12
ρ
6
2
0
=
16π
3
.
b) Množina M je válec o poloměru 1 a výšce 1 posunutý po ose x o 1, jeho průmět do
roviny xy je kruh z příkladu 6.20 b). Proto platí
M =
(x, y, z) | x2 + y2 ≤ 2x, 0 ≤ z ≤ 1 ,
Φ
−1(M) =
n
(ρ, ϕ, z) | 0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ, −
π
2
≤ ϕ ≤
π
2
, 0 ≤ z ≤ 1
o
322
Integrální počet II
a daný integrál
Z
M
z
p
x2 + y2 dx dy dz =
Z
Φ−1(M )
z ρ
2 dρ dϕ dz =
Z
1
0
z dz
Z
π
2
− π
2
dϕ
Z
2 cos ϕ
0
ρ
2 dρ =
=
1
2
z
2
1
0
Z
π
2
− π
2
1
3
ρ
3
2 cos ϕ
0
dϕ =
4
3
Z
π
2
− π
2
cos
3 ϕ dϕ =
8
3
Z
π
2
0
(1 − sin
2 ϕ) cos ϕ dϕ =
=
8
3
sin ϕ −