Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Potom se E nazývá bodový eukleidovský prostor,
V jeho zaměření,
bijekce X 7→ X + v translace o vektor v a
dim V dimenze prostoru E.

Je-li například V = E2 – aritmetický vektorový prostor se standardním skalárním souči-
nem dimenze 2 a E = R

2, je R2 spolu se zaměřením E2 bodový eukleidovský prostor –

prostor bodů a vektorů v rovině.

Místo Y = X + v píšeme také Y − X = v.
Bod X resp. Y nazýváme počátečním resp. koncovým bodem vektoru v.

Nechť P ∈ E, {b1, ..., bn} báze prostoru V.

Pro každý bod X ∈ E má vektor x = X − P vyjádření

x =

X

xibi,

tedy

X = P + x1b1 + · · · + xnbn.

330

Dodatek: Geometrie

Systém {P, b1, ..., bn} se nazývá soustava souřadnic,
P počátek souřadnic,
x1, ..., xn souřadnice bodu X a
x = X − P polohový vektor bodu X.

Vzdálenost bodů X, Y ∈ E je kX − Y k,
tedy velikost vektoru s počátečním bodem A a koncovým bodem B.

Souřadnice bodů budeme psát v hranatých závorkách: X = [x1, ...xn], souřadnice vektorů,
tak jak jsme zvyklí, v kulatých závorkách.

Je-li (b1, ..., bn) ortonormální báze, potom se {P, b1, ..., bn} nazývá kartézská soustava
souřadnic.

Soustava souřadnic

{P0, e1, ..., en)

kde

P0 = [0, ..., 0], e1 = (1, 0, ..., 0), ..., en = (0, ..., 0, 1)

se nazývá kanonická soustava souřadnic.

V úvodu této kapitoly jsme se zmínili, že nás bude zajímat především dvoj- a trojrozměrný
prostor; v trojrozměrném prostoru je vhodné zavést kromě skalárního součinu ještě dva
další typy součinů vektorů:

Vektorový a smíšený součin v E3

Definice 7.2. Řekneme, že dvě báze (v1, v2, v3) a (v

0

1, v

0

2, v

0

3) v eukleidovském prostoru

E3 jsou souhlasně (nesouhlasně) orientované, je-li determinant matice přechodu
kladný (záporný).
Všechny báze v E3 se tak rozpadají na dvě disjunktní třídy souhlasně orientovaných
bází. Prohlásíme-li báze jedné třídy za kladně orientované a báze druhé třídy za záporně
orientované, řekneme, že jsme prostor E3 orientovali.