Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

V dalším předpokládejme, že E3 je orientovaný. Označme (i, j, k) některou pevně vybranou
ortonormální kladně orientovanou bázi.

Definice 7.3. Buďte a, b, c ∈ E3,

a = a1i + a2j + a3k, b = b1i + b2j + b3k, c = c1i + c2j + c3k.

Vektorový součin vektorů a, b je vektor

a × b =

a2 a3
b2 b3

i −

a1 a3
b1 b3

j +

a1 a2
b1 b2

k

neboli (symbolicky)

a × b =

i

j

k

a1 a2 a3

b1 b2 b3

.

7.1 Bodové eukleidovské prostory

331

Smíšený součin vektorů a, b, c je číslo

(a × b) · c =

a2 a3
b2 b3

c1 −

a1 a3
b1 b3

c2 +

a1 a2
b1 b2

c3

neboli

(a × b) · c =

c1 c2 c3

a1 a2 a3

b1 b2 b3

.

Z předchozí definice je vidět, že vektorový a tedy i smíšený součin podstatně závisí na
tom, že vektory jsou trojice. Na prostory jiné dimenze než tři tyto pojmy nezobecňujeme.

Vektorový součin je definován pomocí souřadnic vektorů; mohlo by se zdát, že bude záviset
na volbě báze. Bez důkazu formulujeme následující větu:

Věta 7.4. Vektorový součin nezávisí na volbě kladně orientované ortonormální báze.

Přímo z definice se prověří následující

Početní pravidla:

a × b = −b × a,

(a + b) × c = a × c + b × c,

α(a × b) = (αa) × b = a × (αb),

a × a = o,

i × j = k, j × k = i, k × i = j.

Na závěr ještě uvedeme některé vlastnosti vektorového součinu:

Věta 7.5. Vlastnosti vektorového součinu:

1. a × b ⊥ a, a × b ⊥ b,

2. a × b = o ⇔ a, b jsou lineárně závislé,

3. jsou-li a,b lineárně nezávislé, potom (a, b, a × b) je kladně orientovaná báze v E3,

4. ka × bk = kak kbk sin ϕ, kde ϕ je úhel vektorů a, b.

Důkaz naleznete v části Pro zájemce na konci kapitoly.