Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
3
sin
3 ϕ
π
2
0
=
16
9
.
M =
n
(x, y, z) | 0 ≤ z ≤ 1 −
p
x2 + y2
o
,
Φ
−1(M) = { (ρ, ϕ, z) |
0 ≤ z ≤ 1 − ρ, 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ ϕ ≤ 2π }
Obr. 6.22:
c)
Z
M
z dx dy dz =
Z
Φ−1(M )
z ρ dρ dϕ dz =
Z
2π
0
dϕ
Z
1
0
ρ dρ
Z
1−ρ
0
z dz = 2π
Z
1
0
ρ dρ [ z ]
1−ρ
0
=
= π
Z
1
0
ρ (1 − ρ)
2 dρ = π
1
2
ρ
2 −
2
3
ρ
3 +
1
4
ρ
4
1
0
=
π
12
.
Pro integraci pomocí cylindrick7ch souřadnic můžeme použít tento maplet.
Sférické souřadnice
Sférické souřadnice mají transformační rovnice
x = r cos ϕ sin ϑ
y = r sin ϕ sin ϑ
z = r cos ϑ
, jedná se tedy o zob-
razení
Φ : h0, ∞) × h0, 2πi × (0, π) → R
3,
Φ(r, ϕ, ϑ) = (r cos ϕ sin ϑ, r sin ϕ sin ϑ, r cos ϑ),
6.2 Transformace integrálů
323
jehož jakobián |Φ0| =
cos ϕ sin ϑ
−r sin ϕ sin ϑ
r cos ϕ cos ϑ
sin ϕ sin ϑ
r cos ϕ sin ϑ
r sin ϕ cos ϑ
cos ϑ
0
−r sin ϑ
= −r2 sin ϑ.
Přitom je třeba si uvědomit, že |Φ0| = | − r2 sin ϑ| = r2 sin ϑ, protože v intervalu h0, πi,
což je maximální možný rozsah souřadnice ϑ , je sin ϑ ≥ 0.
Obr. 6.23: Objemový element sfér. souřadnic
Ve sférických souřadnicích se tedy „objemový elementÿ dx dy dz transformuje na
r2 sin ϑ dr dϕ dϑ.
Souřadnicové plochy, na kterých jsou nové proměnné konstantní, se zobrazí takto:
1. Plochy r = r0 =konst. se zobrazí na kulové plochy x
2 + y2 + z2 = r2
0
– soustředné kulové plochy se středem v počátku souřadnic,
2. plochy ϕ = ϕ0 =konst. se zobrazí na roviny y = tgϕ0 x
– svislé roviny procházející osou z
3. plochy ϑ = ϑ0 =konst. se zobrazí na plochy z = tgϑ0