Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Integrační obor v nových souřadnicích je interval – souřadnicové čáry příslušné těmto
souřadnicím jsou soustředné kružnice se středem v bodě (1, 0) a přímky procházející
tímto bodem. Dostáváme
Z
M
x dx dy =
Z
Φ−1(M )
(1 + ρ cos ϕ) ρ dρ dϕ =
Z
2π
0
dϕ
Z
1
0
(ρ + ρ
2 cos ϕ) dρ =
320
Integrální počet II
=
Z
2π
0
dϕ
Z
1
0
ρ dρ +
Z
2π
0
cos ϕdϕ
Z
1
0
ρ
2 dρ = [ϕ]
2π
0
1
2
ρ
2
1
0
+ 0 = π.
Pro integraci pomocí polárních souřadnic můžeme použít tento maplet.
Cylindrické souřadnice
Cylindrické souřadnice mají trans-
formační rovnice
x = ρ cos ϕ
y = ρ sin ϕ
z = z
,
jedná se tedy o zobrazení
Φ : h0, ∞)×h0, 2πi×(−∞, ∞) → R
3,
Φ(ρ, ϕ, z) = (ρ cos ϕ, ρ sin ϕ, z),
jehož jakobián
|Φ
0| =
cos ϕ
−ρ sin ϕ
0
sin ϕ
ρ cos ϕ 0
0
0
1
= ρ.
Obr. 6.20: Objemový element cyl. souřadnic
V cylindrických souřadnicích se tedy „objemový elementÿ dx dy dz transformuje na
ρ dρ dϕ dz.
Souřadnicové plochy, na kterých jsou nové proměnné konstantní, se zobrazí takto:
1. Plochy ρ = ρ0 =konst. se zobrazí na válcové plochy x
2 + y2 = ρ2
0
– soustředné rotační válcové plochy s osou rotace v ose z,
2. plochy ϕ = ϕ0 =konst. se zobrazí na roviny y = tgϕ0 x
– svislé roviny procházející osou z
3. plochy z = z0 =konst. zůstávají na místě; jsou to vodorovné roviny.
Geometricky znamená pro daný bod cylindrická souřadnice ρ vzdálenost tohoto bodu od
osy z, cylindrická souřadnice ϕ úhel, který svírá rovina procházející tímto bodem a osou
z se souřadnou rovinou xz (s polorovinou pro kladné y) a cylindrická souřadnice z má
tentýž význam jako kartézská souřadnice z.
Cylindrické souřadnice používáme u integračních oborů, jejichž průměty do roviny xy je
vhodné vyšetřovat v polárních souřadnicích.