Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

k , nechť Φ : Φ−1(M ) → M je zobrazení

třídy C1 , které je bijektivní (vzájemně jednoznačné) na (Φ

−1(M))

0

(vnitřek), přičemž

mk h (Φ

−1(M)) = 0 (hranice má nulovou míru), a nechť pro každý prvek X ∈ M je

|Φ0| 6= 0 (takové zobrazení se nazývá regulární). Pak pro každou funkci f integrovatelnou
na množině M platí

a) k = 2, Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) :

Z

M

f (x, y) dx dy =

Z

Φ−1(M )

f (x(u, v), y(u, v)) | det Φ

0(u, v)| du dv

b) k = 3, Φ(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) :

Z

M

f (x, y, z) dx dy dz =

=

Z

Φ−1(M )

f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) | det Φ

0(u, v, w)| du dv dw

Poznámky:

a) V případě vícerozměrných integrálů hovoříme místo o substituci o transformaci, pro-

tože přecházíme od kartézských souřadnic k novým, tzv. křivočarým souřadnicím –
transformujeme souřadnice.

6.2 Transformace integrálů

317

b) V předchozí větě vystupuje výraz Φ0(u, v) resp. Φ0(u, v, w) - tedy derivace zobrazení.

To je matice sestavená z parciálních derivací složek zobrazení podle všech proměn-
ných, tedy pro

Φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v))

je

Φ

0 =

" x0

u(u, v)

x0

v (u, v)

y0

u(u, v)

y0

v (u, v)

#

a pro

Φ(u, v, w) = (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w))

je

Φ

0 =

x0

u(u, v, w)

x0

v (u, v, w)

x0

w (u, v, w)

y0

u(u, v, w)

y0

v (u, v, w)

y0

w (u, v, w)

z0

u(u, v, w)

z0

v (u, v, w)

z0

w (u, v, w)

.

Derivace zobrazení Φ0 se také nazývá Jacobiho matice

a její determinant, je-

hož absolutní hodnota vystupuje ve větě o transformaci integrálů, se nazývá Jako-
bián (resp. jakobián). Jak uvidíme u speciálních případů transformací, charak-
terizuje absolutní hodnota Jakobiánu „změnu plošného resp. objemového elementuÿ
při transformaci.