Matematika 1B - skripta - V. Krupková, P. Fuchs (2014)

Z

M

f (x, y) dx dy =

Z

I

f (x, y) · χM (x, y) dx dy

pro

M ⊂ I.

Pro integrál na měřitelných množinách platí následující existenční věta:

• Je-li M ⊂ R

2 (R3) měřitelná množina a f : M → R je na M ohraničená a skoro

všude spojitá, pak je f na M integrovatelná.

310

Integrální počet II

Dále platí:

• Je-li M ⊂ R

2 (R3) měřitelná množina, potom

m2(M ) =

Z

M

1 dx dy,

resp.

m3(M ) =

Z

M

1 dx dy dz.

Uvedli jsme vlastnosti integrálu:

• Je-li M ⊂ R

n měřitelná množina, f, g : M → R integrovatelné funkce, platí:

1.

R

M

cf (X) dX = c

R

M

f (X) dx,

2.

R

M

[f (X) + g(X)] dX =

R

M

f (X) dX +

R

M

g(X) d(X),

3. platí-li f (X) ≤ g(X)

∀X ∈ M , potom

R

M

f (X) dX ≤

R

M

g(X) dX,

4. je-li M = M1 ∪ M2, kde M1, M2 jsou měřitelné možiny mající společné nejvýš

část hranice, potom

R

M

f (X) dX =

R

M1

f (X) dX +

R

M2

f (X) dX.

Závěrem jsme uvedli větu o výpočtu integrálu na měřitelné množině:

• Fubiniova věta:

Je-li M = { (x, y) ∈ R

2 | a ≤ x ≤ b, d(x) ≤ y ≤ h(x) } resp.

M = { (x, y, z) ∈ R

3 | a ≤ x ≤ b, d

1(x) ≤ y ≤ h1(x), d2(x, y) ≤ z ≤ h2(x, y) } ,

kde d, h, resp. d1, h1, d2, h2 jsou spojité a skoro všude spojitě diferencovatelné
funkce,

pak existuje-li

J =

R

M

f (x, y) dx dy

resp.

J =

R

M

f (x, y, z) dx dy dz,

platí

J =

b

R

a

dx

h(x)

R

d(x)

f (x, y) dy

resp.

J =

b

R

a

dx

h1(x)

R

d1(x)

dy

h2(x,y)

R

d2(x,y)

f (x, y, z) dz.

Otázky a úkoly

1. Jak je definován dvojný integrál z funkce f na intervalu I? Je-li f na I nezáporná,

jaký je geometrický význam

R

I

f (x, y) dx dy?

2. Co je to měřitelná množina a jak se definuje integrál na měřitelné množině?